Различные формы записи теоремы Лагранжа
Пусть - фиксированная точка, - приращенная точка, где - произвольное приращение.
,
т.е. отношение приращения функции к
приращению аргумента есть значение
производной в некоторой промежуточной
точке.
,
где
- число от нуля до единицы
(*)
(*) – формула приращений
Следствие из теоремы Лагранжа: Если функция во всех точках промежутка имеет производную, равную нулю, то функция постоянна в этом промежутке.
Док-во:
Пусть
и
- произвольные точки промежутка. Тогда
по теореме Лагранжа:
ч.т.д.
Т.
(Коши):
Пусть функции
и
непрерывны на отрезке
,
дифференцируемы на интервале
,
причем
для всех
.
Тогда внутри данного отрезка найдется
хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство:
(Без док-ва)
Правило Лопиталя.
Т.
Пусть функции
и
дифференцируемы в некоторой окрестности
точки а с выколотым центром, причем
в этой окрестности, и пусть
.
Тогда, если существует предел отношения
производных в этой точке, то существует
и предел отношения функций, причем имеет
место равенство
.
Док-во:
Значения функций
в точке a
нас не интересует, а
не изменится, если функции доопределить
в точке а,
предположив, что
.
Рассмотрим предел:
Таким образом:
ч.т.д.
Замечание:
Правило Лопиталя остается справедливым
и при
и при неопределенности
.
Помни !
Правило Лопиталя действует, если неопределенность двух типов:
Правило Лопиталя в случае других видов неопределенностей
неопределенность «
»
неопределенности «
»
С помощью
логарифмирования выражения можно свести
к неопределенности
или
.
Пример:
Лекция № 31.
Тема: «Формула Тейлора: для многочлена, для произвольной функции, для некоторых элементарных функций»
Формула Тейлора для многочлена.
Рассмотрим многочлен степени n:
Разложим данный
многочлен по степеням
,
т.е.
Положим
,
тогда
.
Таким образом:
Разложение по
степеням
многочлена
примет вид:
Это формула Тейлора для многочлена.
Пример:
Разложить
по степеням
.
Ответ:
Формула Тейлора для произвольной функции
Пусть функция
имеет в некоторой окрестности точки а
производные до
порядка и пусть x
– произвольная точка из окрестности
точки а.
Опр. Многочленом Тейлора для функции называется многочлен -ной степени вида:
Например,
.
Рассмотрим а=0.
Тогда
.
.
,
где
- остаточный член.
Таким образом, , где - остаточный член формулы Тейлора.
Очевидно, если
,
то
.
Отметим, что
Учитывая, что
,
получим:
,
поэтому
.
Будем искать
остаток
в виде:
.
Найдем множитель
,
для этого выясним, что из себя представляет
отношение:
Таким образом,
,
где
.
- остаточный член
формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Итак,
Если положить в
формуле Тейлора а=0,
то получим формулу Маклорена:
Частные случаи формулы Тейлора
, где
,
а
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
а).
б).
в).
г).
Лекция № 32.
Тема: «Возрастание и убывание функции. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции».
Т. (достаточное условие возрастания и убывания функции): Если функция во всех точках промежутка имеет положительную (отрицательную) производную, то она на этом промежутке возрастает (убывает).
Док-во:
Нужно доказать,
что
возрастает на промежутке
.
Возьмем любые элементы
и пусть
.
Рассмотрим функцию
на отрезке
,
применим теорему Лагранжа:
Итак, взяли
,
показали, что
- возрастает на промежутке X.
При
на промежутке X
теорема доказывается аналогично.
ч.т.д.
Замечание:
Иногда бывает, что
в случае строгого возрастания функции.
Это возможно тогда, когда
в точках, не заполняющих сплошь некоторый
промежуток.
Например,
.
.
в точке
- одна точка.
Пример:
Найти промежутки возрастания и убывания
функции
.
Найти :
Исследовать знак производной:
Ответ:
возрастает, если
и убывает, если
