Свойства пределов.
Т1. Если
функции
имеют пределы в точке x0,
соответственно равные
,
то алгебраическая сумма этих функций
тоже имеет предел в этой точке, причем
.
Т2. Если
функции
имеют пределы в точке x0,
соответственно равные
,
то
тоже имеет предел в этой точке, причем
.
Т3. Если
функции
имеют пределы в точке x0,
то в этой точке имеет предел отношение
при условии, что
,
причем
.
Односторонние пределы функции в точке
При решении задач на исследование функций часто используют односторонние пределы функции в точке.
Опр.
Число А
называется левосторонним
пределом функции
в точке x0,
если для любого сколь угодно малого
числа
найдется
такое
,
что для всех x,
удовлетворяющих условию:
,
выполняется неравенство:
.
Обозначение:
.
Аналогично определяется правосторонний предел функции в точке.
Опр.
Число В
называется правосторонним
пределом функции
в точке x0,
если для любого сколь угодно малого
числа
найдется
такое
,
что для всех x,
удовлетворяющих условию:
,
выполняется неравенство:
.
Обозначение:
.
Односторонние пределы функции в точке могут существовать, могут быть равными, неравными и могут не существовать.
Т. Для того, чтобы функция имела предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы эта функция в точке x0 имела равные односторонние пределы, причем:
Теперь установим второй замечательный предел.
Т. Имеет
место равенство
.
(Без док-ва)
Лекция № 24.
Тема: «Бесконечно малые и бесконечно большие, связь между ними, свойства. Сравнение бесконечно малых»
Опр.
Функция
называется бесконечно
малой величиной
в точке
,
если предел
при
равен нулю:
.
Если вместо использованного предела поставим его определение, то получим следующее определение, равносильное сформулированному.
Опр.
Функция
называется бесконечно
малой величиной
в точке
,
если для любого сколь угодно малого
найдется
,
что для всех
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство:
Т. (о
связи между функцией, имеющей предел в
точке, и бесконечно малой величиной):
Для того, чтобы функция
в точке
имела предел А,
необходимо и достаточно, чтобы в
окрестности точки
выполнялось равенство
,
где
- бесконечно малая величина.
Пример:
.
В окрестности точки имеем:
,
где
является бесконечно малой величиной в
точке
.
Относительно бесконечно малых величин существуют две важные леммы.
Лемма 1.
Алгебраическая сумма любого конечного
числа n
бесконечно малых величин
в точке
тоже есть бесконечно малая величина в
этой же точке.
Лемма 2. Произведение функции , ограниченной в окрестности точки , и бесконечно малой величины в точке есть бесконечно малая величина.
Следствие.
Если функция
имеет предел в точке
,
то она ограничена в некоторой окрестности
точки
,
поэтому, если
- бесконечно малая величина в точке
,
то
будет бесконечно малой величиной в
точке
.
Если имеется две
бесконечно малые величины
и
в точке
,
то во многих случаях эти величины можно
сравнивать в том смысле, какая из них
быстрее стремится к нулю, а какая
медленнее, или же они с одинаковой
скоростью стремятся к нулю при
.
Бывают случаи, когда в указанном смысле
бесконечно малые величины невозможно
сравнить.
Опр.
Если
и
- бесконечно малые величины в точке
и
,
то говорят, что
имеет высший
порядок малости
по сравнению с
.
Опр.
Если
и
- бесконечно малые величины в точке
и
,
то говорят, что
имеет низший
порядок малости
по сравнению с
.
Пример:
Пусть
.
Обе эти функции являются бесконечно малыми величинами в точке 0.
- является бесконечно
малой величиной высшего порядка по
сравнению с бесконечно малой величиной
.
- является бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с бесконечно малой величиной .
Если бесконечно малая величина имеет высший порядок малости по сравнению с в точке , то этот факт записывают так:
при
Очевидно, имеем равносильность:
при
Опр.
Если
и
- бесконечно малые величины в точке
и
,
то по определению
и
имеют одинаковый
порядок малости.
Пример:
в точке
являются
бесконечно малыми величинами одинакового
порядка малости.
Опр. Если
и
- бесконечно малые величины в точке
и
,
то
и
называются эквивалентными
бесконечно малыми величинами в точке
.
при
Имеем
- первый замечательный предел.
при
.
Эквивалентные бесконечно малые величины эффективно применяются при вычислении предела функций. Такое применение основано на следующей теореме.
Т. Если
при
и
,
то
,
т.е.
.
Опр.
Функция
называется бесконечно
большой величиной
при
,
если для любого сколь угодно большого
положительного числа А
существует такое
,
что для всех
выполняется неравенство:
.
Из рисунка видно,
что
является бесконечно большой величиной
при
.
Если
является бесконечно большой величиной
в точке
,
то
(знак
в общем случае не указывается, но если
заведомо ясно, что
вблизи точки
принимает сколь угодно большие и только
положительные значения, пишут
.
Аналогично
).
Между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами существует связь, выражаемая следующей теоремой.
Т. Если
,
т.е.
- бесконечно малая величина при
,
то функция
является бесконечно большой величиной
при
и наоборот.
Док-во:
1).
Возьмем сколь
угодно большое положительное число
,
тогда для любого сколь угодно малого
найдется
,
что для всех
выполняется неравенство:
.
Тогда при тех же будет выполняться:
2).
Возьмем сколь угодно малое и сколь угодно большое , тогда найдется , что для всех будет выполняться неравенство: .
Т.к.
- любое положительное число, то можем
взять бесконечно малую величину
.
,
то
.
Т.е.
- бесконечно малая величина.
ч.т.д.
Лекция № 25.
Тема: «Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функций и их классификация»
Основным объектом изучения в матанализе являются функции. Основным методом изучения функции являются операции предельного перехода. Значение изучения функций обусловливается тем, что функции описывают течение различных процессов в природе и технике. Т.к. явления природы протекают непрерывным образом, то они описываются непрерывными функциями, поэтому очень важно изучение непрерывных функций.
Пусть функция
имеет область определения
.
Предполагается, что
вместе
с некоторой своей окрестностью.
Опр. Функция
называется непрерывной
в точке
,
если
.
Опр.
(по Коши):
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если для любого сколь угодно малого
найдется
такое
,
такое что для всех
,
выполняется неравенство
.
Опр.
(по Гейне):
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если для любой последовательности
точек xn,
таких что
и
,
соответствующая последовательность
значений функции имеет своим пределом
.
Можно дать
качественное определение непрерывности
функции в точке. Заметим, что
называется приращением аргумента
в точке
.
Неравенство
,
участвующее в определении непрерывности
функции в точке, может быть записано
так:
.
называется приращением функции в точке
,
оно соответствует приращению
аргумента.
Неравенство
можно записать так:
.
Это неравенство должно выполняться при
условии
для того, чтобы
была непрерывна в точке
.
Поскольку - сколь угодно малое число, то выполнение неравенства при выполнении означает, что бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. малому изменению аргумента соответствует малое изменение непрерывной функции, поэтому с качественной точки зрения непрерывность в точке определяется так:
Опр.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если в этой точке бесконечно малому
приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции
.
Опр.
(на языке
односторонних пределов):
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если в этой точке выполняется равенство
Дадим геометрическое истолкование непрерывности функции в точке . Пусть непрерывна в точке , тогда для любого найдется такое , что при выполнении неравенства будет выполняться неравенство: .
Но
Т.е. значения
попадают в
-окрестность
точки
,
как только выполняется неравенство:
Следовательно, с геометрической точки зрения непрерывность функции в точке означает следующее:
какова бы ни была -окрестность точки (на оси ординат),
найдется -окрестность точки (на оси абсцисс), что для всех
из -окрестности точки соответствующие значения функ-
ции попадут в -окрестность точки .
Возьмем
=меньшему
из
.
Ясно, что
содержится в
.
Тогда, если
,
то
