Абсолютная величина числа

В матанализе и вообще в математике важным понятием, связанным с числами, является абсолютная величина или модуль числа.

Опр. Абсолютной величиной числа называется само это число, если оно неотрицательно, противоположное число, если это число отрицательно.

Это определение на математическом языке можно записать так:

Из этого определения следует, для любого числа имеет место неравенство: .

Т1. .

Следствие.

Т2. Абсолютная величина алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых меньше или равна сумме абсолютных величин этих слагаемых, т.е. для любых чисел абсолютная величина их суммы меньше или равна сумме абсолютных величин этих чисел:

Т3. Абсолютная величина разности двух чисел больше или равна разности абсолютных величин этих чисел: .

Опр. Арифметическим корнем квадратным из неотрицательного числа называется положительное значение этого корня.

Используя это равенство получаем Т4.

Т4. Абсолютная величина произведения двух чисел равна произведению абсолютных величин этих чисел:

Следствие. Абсолютная величина произведения любого конечного числа множителей равна произведению абсолютных величин этих множителей:

В частности,

Т5. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин: .

Геометрически абсолютная величина числа выражает расстояние на числовой оси между точками, изображающими числа 0 и .

выражает расстояние между точками и .

Опр. Числовым множеством называется множество, состоящее из чисел.

Наиболее часто встречающимися числовыми множествами являются отрезок, интервал, полуинтервал, промежуток.

Опр. Отрезком с левым концом а с правым концом b называется множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству .

Опр. Интервалом с левым концом а с правым концом b называется множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству .

Опр. Полуинтервалом или называется множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству или .

Опр. Всякий отрезок, всякий интервал, всякий полуинтервал с левым концом а с правым концом b называется промежутком - .

Пусть - какое-то числовое множество.

Опр. Точка называется предельной точкой множества Е, если у множества Е есть сколь угодно много точек мало отличающихся от точки .

Чтобы дать точное математическое определение предельной точки числового множества, введем понятие ε-окрестности точки и вообще окрестности точки.

Опр. Пусть - произвольное положительное число. ε-окрестностью точки называется интервал .

Опр. ε-окрестностью точки называется множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству .

Так как неравенство равносильно неравенству , а это неравенство равносильно , то можно дать следующее определение.

Опр. ε-окрестностью точки называется множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству .

Опр. ε-окрестностью точки называется множество всех точек x, расстояние которых от точки меньше .

С помощью понятия ε-окрестности точки точное определение предельной точки множества Е будет таким:

Опр. Точка называется предельной точкой множества Е, если в любой ε-окрестности этой точки содержится бесконечное множество точек этого множества.

Опр. Любой интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки .

Опр. Точка называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точки содержится бесконечно много точек этого множества.

Опр. Множество называется ограниченным сверху, если существует такое число , что для всех чисел выполняется неравенство: .

Опр. Множество называется ограниченным снизу, если существует такое число , что для всех чисел выполняется неравенство: .

Опр. Числовое множество Е называется ограниченным, если оно ограничено и снизу и сверху.

Опр. Числовое множество Е называется ограниченным, если существует такое положительное число , что для всех чисел выполняется неравенство: .

Опр. Число называется верхней гранью числового множества Е, если это число удовлетворяет двум условиям:

1. для любого числа выполняется неравенство

2. каково бы ни было сколь угодно малое найдется , что будет выполняться неравенство:

- обозначение верхней грани числового множества.

Опр. Число называется нижней гранью числового множества Е, если это число удовлетворяет двум условиям:

1. для любого числа выполняется неравенство

2. каково бы ни было сколь угодно малое найдется , что будет выполняться неравенство:

- нижняя грань числового множества.

С точки зрения введенных понятий рассмотрим конкретное множество: , где - натуральное число.

У множества Е единственная предельная точка – 0. Это множество имеет верхнюю грань, причем: . Это множество имеет нижнюю грань, причем: .

Из определения верхней и нижней граней числового множества не следует, что они принадлежат этому множеству.

Т. Всякое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань; всякое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань; всякое ограниченное множество имеет и нижнюю и верхнюю грань.

(Без док-ва)

Лекция № 22.

Тема: «Понятие функ­ции. Основные элементарные функции. Свойства функций»

Пусть даны два множества:

Опр. Отображением множества А во множество В называется любое правило, по которому каждому элементу а из множества А ставится в соответствие определенный (единственный) элемент b из множества В.

В матанализе изучаются специальные отображения. В первую очередь изучаются отображения, которые называются функцией одной переменной.

Опр. Функцией одной переменной в матанализе называется отображение одного числового множества в другое числовое множество.

Если числовое множество при помощи отображения f отображается в числовое множество , то это отображение будет функцией. При этом пишут . В этой записи f – функция, X – область задания функции, x – аргумент функции (независимая переменная), - значение функции при рассматриваемом значении аргумента x.

Так как функция одной переменной, как отображение, является определенным правилом, задающим соответствие, то в зависимости от способа задания такого правила получаем различные возможные способы задания функции.

1. Функцию можно задавать аналитически, это значит, что правило соответствия задается одной формулой, которая показывает, какие действия последовательно надо произвести, чтобы по данному значению аргумента можно получить соответствующие значения функции. В матанализе главным образом изучаются аналитически заданные функции.

2. Функция одной переменной может задаваться графически при помощи своего графика, а графиком функции называется множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению . Графическое задание функции имеет то преимущество, что по графику функции мы наглядно можем видеть некоторые свойства этой функции, в частности ее общее поведение.

3. Функция может задаваться таблицей ее значений в отдельно взятых точках. Примером такого задания функции является таблица значений в логарифмической функции.

4. Функция может задаваться словесной формулировкой правила соответствия.

5. Функция может задаваться различными из перечисленных способов на отдельных промежутках.

Опр. Функция называется ограниченной на промежутке , если на этом промежутке ограничено множество ее значений, то есть если существует число М, что для всех x из выполняется неравенство .

является ограниченной функцией на всей числовой оси, так как .

Опр. Функция называется неограниченной на промежутке , если для любого сколь угодно большого числа М найдется x из промежутка , что будет выполняться неравенство .

Опр. Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Если , то функция называется неубывающей.

Опр. Функция называется убывающей на промежутке , если для любых и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Если , то функция называется невозрастающей.

Опр. Числовое множество называется симметричным множеством, если вместе с любой точкой точка –x тоже принадлежит X.

Опр. Функция называется четной на множестве , если X симметрично и для любого выполняется условие .

Опр. Функция называется нечетной на множестве , если X симметрично и для любого выполняется условие .

Опр. Если функция неубывающая и невозрастающая на , то она называется монотонной на промежутке .

Опр. Функция называется периодической функцией, если она задана на всей числовой оси и для любого x выполняется равенство , где Т – некоторое постоянное число (период).

Основные элементарные функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

Если известен график функции , то путем определенной последовательности сдвигов и растяжений этого графика можно построить график функции .

Применение функций в экономике.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-линейные (гиперболические), степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и др. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто в экономике используются функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) – в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловливающих его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Кроме этого используются функции нескольких переменных, мультипликативные, сепарабельные, аддитивные функции и т.д.

Применение таблиц функций позволяет сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

Лекция № 23.

Тема: «Предел числовой последовательности. Предел функции в точке»

Частным случаем функции одной переменной является числовая последовательность.

Опр. Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве всех натуральных чисел.

- называется n-ным членом последовательности.

Важнейшим понятием, связанным с числовой последовательностью, является предел числовой последовательности.

Опр. Число А называется пределом числовой последовательности при (при этом пишут ), если для любого сколь угодно малого числа существует такой номер , что для всех n, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство:

Пусть функция имеет область определения и пусть x₀ – предельная точка множества .

Опр. Число А называется пределом функции в точке x₀, если для любого сколь угодно малого числа существует такое , что для всех x, удовлетворяющих условиям: , выполняется неравенство:

Такой предел обозначается так: . Это определение называется определением предела функции в точке по Коши.

Дадим геометрическое истолкование предела функции в точке. - задает те точки x, которые принадлежат - окрестности точки x₀, т.е. .

на оси Oy задает ε-окрестность точки А, т.е. .

Тот факт, что , геометрически означает, что как только x попадает в - окрестность точки x₀, соответствующие значения функции попадают в ε-окрестность точки А.

Вывод: Равенство геометрически означает следующее: какова бы ни была ε-окрестность точки А найдется - окрестность точки x₀, что как только попадает в эту окрестность значение функции попадает в ε-окрестность точки А.

Возьмем =меньшему из и образуем из этого числа - окрестность точки x₀.

Замечание: При рассмотрении предела функции f(x) точки x₀, сама точка x₀ исключается из - окрестности этой точки в том смысле, что значение функции в этой точке никак не принимается во внимание. Поэтому в определении требуется, чтобы .

Теперь установим первый замечательный предел.

Т. Имеет место равенство .

(Без док-ва)

Опр. Число А называется пределом функции в точке x₀, если для любой последовательности точек x_n, таких что и , соответствующая последовательность значений функции в точках x_n имеет своим пределом число А, т.е. .

Это определение называется определением предела функции в точке по Гейне.

Т. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне равносильны. (Без док-ва)