Раздел 2. Математический анализ.

Глава 1. Введение в математический анализ.

Лекция № 21.

Тема: «Множества и операции над ними. Окрестность точки».

Математический анализ строится на числовом фундаменте. Этим чи­словым фундаментом является множество всех действительных чисел. Кратко теория действительных чисел заключается в следующем: с помощью целых чисел 0, ±1, ±2,…, ±n строится множество рациональных чисел – R.

Опр. Рациональным числом называется несократимая дробь вида , где - целое число, - натуральное число, причем .

Но множество рациональных чисел имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что рациональных чисел мало, их не хватает для из­мерения длин отрезков. В связи с этим возникает необходимость расширения множества чисел. Такое расширение осуществляется введением множества иррациональных чисел.

Опр. Иррациональным числом называется бесконечная, непериодическая десятичная дробь.

Заметим, что любая бесконечная, непериодическая десятичная дробь представляет собой рациональное число.

.

Как рациональные числа, так и иррациональные числа называются действительными или вещественными числами. R – множество действительных чисел, оно обладает следующими свойствами:

1. R – упорядоченно, то есть для любых действительных чисел выполняется только одно из отношений:

2. R – плотно, то есть между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много действительных чисел, в том числе рациональных, а также иррациональных чисел.

3. R – замкнуто относительно рациональных операций, то есть сумма, разность, произведение и частное действительных чисел будет действительным числом.

4. R – непрерывно, то есть действительных чисел уже достаточно для измерения длин отрезков.

Для точной формулировки свойства непрерывности используется понятие взаимнооднозначного соответствия между элементами двух множеств.

Опр. Пусть даны два множества А и В, состоящие соответственно из элементов а и элементов b. Взаимнооднозначным соответствием между элементами этих множеств называется такое соответствие φ, по которому каждому элементу а из множества А ставится в соответствие элемент b из множества В и наоборот, каждому элементу b из множества В ставится в соответствие определенный элемент а из множества А, а именно тот элемент а, которому соответствует элемент b.

С помощью этого понятия свойство непрерывности всех действительных чисел формулируется так:

Между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой существует взаимнооднозначное соответствие с сохранением порядка в том смысле, что отношениям «меньше», «равняется», «больше» между действительными числами соответствуют отношения «левее», «совпадает», «правее» между точками прямой.

Благодаря этому свойству все действительные числа изображаются геометрическими точками прямой, при этом каждому действительному числу взаимнооднозначно соответствует точка прямой.

Прямая, точками которой изображаются действительные числа, называется числовой осью.