38. Функция нескольких переменных. Частные производные. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных

Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

 Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции

 Если - точка экстремума функции f, то

и или

 Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции

 Обозначим

Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.

 Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.

Если D < 0, экстемума в точке нет.

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

39. Получение эмпирических формул по методу наименьших квадратов. Построение линейной эмпирической зависимости по методу наименьших квадратов.

Необходимо получить аналитическую зависимость

  ,                                                         

которая наилучшим образом описывает начальные данные, заданные таблицей зависимости У от Х . Словосочетание «наилучшим образом», будем понимать в смысле минимума суммы квадратов отклонений значений , данных в таблице от , рассчитанных по (*):

Определим уравнение прямой (найдем значения коэффициентов a и b), так, чтобы получить решение задачи , т.е. необходимо найти минимум функции

.

Функция . Продифференцируем  по a и по b. Получим:    

 

,

.

Для того, чтобы найти минимум функции E(a,b), приравняем нулю производные и упростим систему:

 

Последнюю систему можно представить в матричном виде:

Решая её получим:

          .

Вычислив a и b, получим функцию , которая в классе линейных функций наилучшим образом описывает табличную зависимость в смысле минимума суммы квадратов отклонений. Теперь можно рассчитать и прогноз

.

40. Первообразная функции на промежутке

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого

Так, функция является первообразной функции  в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция также является первообразной функции  

Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A (x0; y0), удовлетворяющую уравнению y = F (x).

41. Неопределенный интеграл и его основные свойства

Неопределённый интегра́л для функции - это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — ее первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную