29. Определение производной функции в точки, ее геометрический смысл
Пусть
в некоторой окрестности
точки
определена
функция
Производной
функции f
в точке x0
называется предел,
если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0:
Производная f'(x0) функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление
f(x)
= f(x0)
+ f'(x0)(x
− x0)
+ o(x
− x0)
при
Если
функция
имеет
конечную производную в точке x0,
то в окрестности U(x0)
её можно приблизить линейной
функцией
Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число f'(x0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
30. Производные основных элементарных функций
когда
и
определены,
31. Производная константы, суммы, произведения, отношения. Производная сложной функции.
Производная
константы:
Производная суммы:
Произодная
произведения:
Производная
отношения:
Сложная
функция (композиция
функций,
суперпозиция
функций)
обозначается
или
.
Производная композиции равна:
Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем указанное выше правило. Например,
32. Дифференциал функции в точке. Формула Тейлора
Функция
называется
дифференцируемой в точке
,
предельной для множества E, если ее
приращение Δf(x0), соответствующее
приращению аргумента x, может быть
представлено в виде
Δf(x0) = A(x0)(x - x0) + ω(x - x0), (1)
где ω(x - x0) = о(x - x0) при x → x0.
Отображение
,
называется дифференциалом функции f в
точке x0, а величина A(x0)h - значением
дифференциала в этой точке.
Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df(x0), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом, df(x0) = A(x0)h.
Разделив в (1) на x
- x0 и устремив x к x0, получим A(x0) = f'(x0).
Поэтому
имеем
df(x0) = f'(x0)h. (2)
Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df(x0) (при f'(x0) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x0, линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x0.
Если скалярные величины u и v дифференцируемы, то:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
Если вектор-функции u и v дифференцируемы, то
а) d(u ± v) = du ± dv;
б) d(u, v) = (du, v) + (u, dv);
в) d(λu) = udλ + λdu (λ - скалярная функция).
Рассмотрим функцию y = f(x), определенную в U(a) и имеющую производную до n – ого порядка в самой точке a.
Требуется найти такой многочлен Tn (x) степени меньшей, или равной n, значение которого в точке a совпадает со значением функции f(x), а все его производные до n – ого порядка включительно в точке а совпадают с производными функции f(x).
(1)
Этот многочлен будет близок к функции f(x) в U(a).
Будем искать его в виде:
(2)
т.е. по степеням разности (x - a) с неопределенными коэффициентами.
Коэффициенты а0, а1, а2, …, аn определим из условий (1):
Следовательно,
(3)
Тогда многочлен Tn (x) принимает вид:
(4)
Многочлен (4) называется многочленом Тейлора для данной функции f(x) в точке а. Многочлен Тейлора является приближением функции f(x) в U(a).