8. Понятие вариации и ее значение. Меры вариации.

Вариация — колеблемость, изменяемость величины при­знака у единиц совокупности.

Задачи статистического изучения вариации:

1. изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности;

2. определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности;

3. измерение вариаций необходимо при проведении вы­борочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т.д.;

4. по степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней;

5. на основе показателей вариации разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.

К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется, как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (медиане).

Среднее линейное отклонение:

Где — абсолютное значение (модуль) отклонения ва­рианта от средней арифметической; f — частота.

Мода – значение признака в вариационном ряду, встречающееся с наибольшей вероятностью. Она определяется по формуле:

где х_Мо - нижняя граница модального интервала;

i_Мо - модальный интервал;

f_Mo, f_Mo-1, f_Mo+1 - частоты в модальном, предыдущем и следующим за модальным интервалах (соответственно). Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Медиана делит ранжированный ряд на две равные части по числу единиц. Она определяется по формуле:

где х_me – нижняя граница медианного интервала;

f_me - частота медианного интервала;

i - величина интервала;

S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала.

Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.  Простой абсолютный показатель - размах вариации (R). Размах вариации рассчитывается как разность между наибольшим (X_max) и наименьшим (X_min) значениями варьирующего признака, т.е. R=Xmax-Xmin..

9. Виды дисперсий и правила их сложения.

Виды (показатели) дисперсий и правило их сложения

В статистическом исследовании очень часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также и между группами. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам.

Различают три вида  дисперсий:

• общая;

• средняя внутригрупповая;

• межгрупповая.

Общая дисперсия ( ) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

 (6.8)

где -   общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия ( ) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам ( ), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия  :

 (6.9)

где n_i - число единиц в группе

Межгрупповая дисперсия   (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле

 (6.10)

где -   средняя величина по отдельной группе.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии: