1.7. Расчёт схемы методом эквивалентных преобразований

При расчётах сложных цепей целесообразно производить по возможности упрощение схемы путём замены последовательно или параллельно включенных резисторов одним. Такие преобразования позволяют во многих случаях суще­ственно упростить схему, исключив необходимость решения сложной системы уравнений. Используемые при этом эквивалентные преобразования хорошо из­вестны. Известно, что сопротивление последовательно включенных резисторов равно их сумме:

i

где R_э - эквивалентное сопротивление последовательно включенных рези­сторов с известными сопротивлениями Ri.

Сопротивление параллельно включенных резисторов определяется из ра­венства:

Если используются проводимости параллельных ветвей g_i, то эквивалент­ное сопротивление R_э может быть рассчитано из выражения:

Пример: В качестве примера применения эквивалентных преобразований рассмотрим порядок преобразований и расчёта предложенной ниже на рисунке 1.9а схемы.

а) б) в)

Рисунок 1.9 Резисторы R3, R4, R5 включены параллельно, что даёт возможность за­менить этот участок цепи одним резистором Ra (смотри рисунок 1.9б) с сопро­тивлением, определяемым из выражения:

1/Ra=1/R3+1/R4+1/R5. Это позволяет использовать формулу сопротивления последовательного соединения резисторов R1, R2, Ra и заменить все три резистора одним, как по­казано на рисунке 1.9в. При этом справедливо, что Rb=R1+Ra+R2. Задача рас­чёта тока в цепи источника э.д.с. E1 сводится к закону Ома: I1=I2=E1/Rb. Далее следует расчёт падения напряжения на резисторе Ra:

Ua = Ra⋅ I1 . Это позволяет определить токи в резисторах R3, R4, R5 из выражений:

I3 =Ua/ R3,I4 =Ua/ R4,I5 =Ua/ R5.

Можно заметить, что метод эквивалентных преобразований не требует составления системы уравнений и кажется достаточно наглядным.

Задание: В предложенной схеме проверьте правильность расчётов со­противлений Ra, Rb, рассчитайте токи во всех ветвях цепи и проверьте ре­зультаты моделированием на компьютере.

В процессе эквивалентных преобразований схемы может возникнуть та­кая ситуация, когда упомянутые эквивалентные преобразования непосредст­венно к цепи применить невозможно. Примером подобной схемы может слу­жить цепь, предложенная на рисунке 1.10а. Можно заметить, что резисторы R2, R3, R5 между собой соединены треугольником. Возникает проблема эквива­лентного преобразования соединения «треугольник» в соединение, известное под названием «звезда».

Замена «треугольника» на «звезду» позволяет прийти к схеме, предло­женной на рисунке 1.10б. Легко заметить, что полученная схема значительно проще для анализа, поскольку последовательно включенные два резистора в каждой ветви могут быть заменены при анализе одним резистором с учётом следующих равенств:

R_a = R1+ R1^' ; R_b = R4 + R2^' ; R_c = R6+ R5^'.

а) б)

Рисунок 1.10 Задание: проверьте эквивалентность предложенных на рисунке 1.10 схем с учётом номинальных значений сопротивлений резисторов путём

моделирования и расчётом с использованием формул эквивалентных пре­образований треугольника в звезду, предлагаемых ниже. Эквивалентное преобразование «треугольника» в «звезду» и наоборот осуществляется с учётом сохранения потенциалов узловых точек и токов во внешней по отношению к преобразуемому участку схеме. Рассмотрим процеду­ру преобразования «звезды» в «треугольник». Схемы «звезды» и «треугольни­ка» предложены на рисунках 1.11а и 1.11б.

II

1

13

12

I31 R31

φЗ yS R^

13 /*'

J -Ч

Ъз

II

i12

12

а) б)

Рисунок 1.11

Преобразование схем будет эквивалентным, если сохранятся токи I1, I2, I3 в узлах 1, 2, 3 и сохранятся узловые потенциалы φ₁, φ₂, φ₃.

При анализе предложенных схем удобнее использовать проводимости вместо сопротивлений резисторов:

g₁ =1/ R1;g₂ =1/ R2;g₃ =1/ R3; g₁₂ =1/ R₁₂;g₂₃ =1/ R₂₃;g₃₁ =1/ R_31.

Для предложенной на рисунке 10а звезды справедливо следующее равен­ство:

I1+ I2 + I3 = 0.

Выразим токи через разности потенциалов и проводимости ветвей схемы «звезда»:

Л = (_y(p_i -(p₀)-g_xJ2 = (ср₂ -(p₀)-g₂;I3 = (ср_ъ -ср₀).

Подставив значения токов в равенство, получим:

Я\ ' <Р\ + §2 ' <Р2 + §3 ' <Ръ = (Я\ + §2 + §3 ) ' <Ро ■ ■

Пусть gj + g₂ + g₃ = а. Выразим потенциал точки 0:

#1 #9 Яъ

<Ро = <Р\ ' + Ч>2 + Рз ■

а а а

Выразим значение тока II с учётом потенциала нулевой точки:

#1 £Ч Я^ %i (#9 + Я т.) Я) ■ Яч Я1 ■ Я^

Л = Я\ ■ Я>\ - Я\ ■ {<Р\ ■ + Ч>2 ' + Рз ' ) = —^ • (Р\ - • Я>2 - ' Я>з ■

а а а а а а

Для предложенной на рисунке 10б схемы «треугольника» для тока II

справедливо:

Л = 1_и - 1_Ъ1 =((р_х-(р₂)- Яп - (<Рз - <Р\ ) • Я\3 = (#12 + Я\3 ) ' <Р\ ~ Яп ' Я>2 ~ Я\3 ' Я>3 •

Можно заметить, что ток II первого узла в обеих схемах выражается че­рез значения потенциалов узловых токов. При эквивалентности схем ток II одинаков для обеих схем. Это возможно только в том случае, если коэффициен­ты при узловых потенциалах в последних двух уравнениях для токов II будут равны. То есть должны быть справедливы следующие равенства:

Я\ ' Я2 Я\' Яз

Я\2 = ><?13 = •

Я\ + Я 2 + Яз Я\ + Я 2 + Яз

Коэффициенты при потенциале первого узла φi приводят к громоздкому выражению, поэтому использовать это выражение нецелесообразно. Но если повторить предложенные выше преобразования для тока 12 или 13, то можно получить следующее равенство, подобное полученным выражениям для прово-димостей gi3 и g₁₂:

Я 2 ' Яз

Я 23 ^{— -}

Я\ + Я 2 + Яз

Выразим значения сопротивлений резисторов «треугольника» (R₁₂, R₂3, R₃i) через значения сопротивлений «звезды» (Rl, R2, R3), пользуясь известным

соотношением: g_i = \IR_i и полученными формулами преобразований проводи-

мостей [1].

Выполните необходимые преобразования самостоятельно.

В результате преобразований получим следующие формулы преобразо­вания «звезды» в «треугольник»:

R_n = m/R3;

R₂₃ =mlR\;

R₃₁ = m/R2;

R1-R2 + R2-R3 + R3- Rl

m = .

RI-R2- R3

Формулы преобразования «треугольника» в «звезду» предлагаются без доказательства [1]:

R^-R^

R\ = - ;

R_n + R23 + R3_l

R^ ■ Rii

R2 = ;

R_u +R23 +R3_l

R^ ■ R-v

R3 = ii =± .

R_u +R23 +R3_l

Попробуйте самостоятельно осуществить преобразование «треуголь­ника» в «звезду».