Экспоненциальный закон распределения вероятностей. Функция надежности.
Экспоненциальному закону распределения подчиняется:
1. Наработка до отказа многих невосстанавливаемых изделий (лопатки паровых турбин, крепежные детали, набивка уплотнений и др.);
2. Внезапные отказы оборудования в тех случаях, когда явления износа и старения выражена слабо;
3. Наработка восстанавливаемых изделий между соседними отказами до окончания периода их приработки;
4. В ряде случаев, в первом приближении, время восстановления изделий распределено по экспоненциальному закону.
При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной работы технического устройства до наработки t:
P(t) = e-λτ
где λ-интенсивность отказов.
Плотность вероятности отказов в этом случае a(t)=λ×e-λτ.
Функция распределения
F(t)=1 – e-λτ
Вероятная наработка до отказа в случае экспоненциального закона распределения
TО = ∫ P(t)×dt = ∫ e-λτdt = 1/λ
Интенсивность отказов
λ(t) = a(t)/P(t) = [λ×e-λτ]/e-λτ = λ = const.
В теории надежности используется также понятие вероятного времени восстановления TВ и интенсивности восстановления μ. Последняя при экспоненциальном законе распределения определяется по формуле μ = 1/TВ.
Экспоненциальный закон – однопараметрический, причем свойство закона в следующем: параметр λ –
Функция надежности - п римерный вид функции распределения случайной величины т— времени жизни неремонтируемого элемента показан на рис. В начальный период работы вероятность отказов мала и значение растет медленно. В средней части кривая поднимается круто. Чем больше крутизна кривой, тем меньшим разбросом характеризуются показатели качества изготовления элементов. В своей конечной части кривая также весьма полога, так как вероятность длительной работы элемента значительно больше средней величины весьма мала.
Эта вероятность называется функцией надежности. Она является основным критерием надежности, характеризующим безотказность работы элемента (системы) в течение заданного периода времени. Безотказность сложных технических систем, к которым относятся распределительные системы газоснабжения, характеризуется более сложным вероятностным показателем — показателем качества функционирования.
Двумерные случайные величины. Условные законы распределения составляющих системы дискретных и непрерывных случайных величин.
Пусть
на вероятностном пространстве 
заданы
две случайные величины: 
.
Каждому элементарному событию 
ставится
в соответствие упорядоченная пара
значений 
случайных
величин 
.
Упорядоченную
пару 
двух
одномерных случайных величин
называют двумерной
случайной величиной.
Двумерную случайную величину называют также случайным двумерным вектором, случайной двумерной точкой, системой двух случайных величин. Одномерные случайные величины называются компонентами двумерной случайной величины .
Свойства двумерной функции распределения
1. 
.
2. 
, 
.
3. 
.
4. 
;
.
(2)
5. 
неубывающая
функция по каждому из своих аргументов
при фиксированном другом аргументе.
Формулы (2) означают, что из функции распределения двумерной случайной величины можно получить функции распределения ее одномерных компонент.
Используя
функцию распределения, можно найти
вероятность попадания случайной точки
в прямоугольник 
:
.