Интегральная теорема Лапласа.
Теорема. Пусть
производится n независимых опытов, в
каждом из которых вероятность наступления
события А одна и та же и равна 
.
Пусть m - число появления события A в n
опытах. Тогда для достаточно больших n
случайная величина m имеет распределение,
близкое к нормальному с параметрами
a=M(m)=np,
Доказательство. Пусть 
-
число наступления события A в i-м
опыте. Тогда 
, 
(cм.
§ 4, п. 2, пример 2).
Так как
может
принимать только два значения0 и 1,
то для любого i имеем 
.
Кроме того, величина 
стремится
к бесконечности при 
.
Итак, последовательность случайных
величин 
удовлетворяет
условиям следствия из теоремы Ляпунова.
Поэтому сумма этих величин 
достаточно
больших n имеет
распределение, близкое к нормальному,
что и требовалось доказать.
Вычислим
вероятность того, что случайная
величина m,
т. е. число наступлений события А в n опытах,
удовлетворяет неравенствам 
,
где x1 и x2 -
данные числа. Так какa=M(m)=np, 
(cм.
§ 4, п. 2, пример 2).
То согласно формуле (32)
получим
|
где Ф(х) - интеграл вероятностей.
Случайные величины, способы их описания.
Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.
Формальное
математическое определение следующее:
пусть
— вероятностное
пространство,
тогда случайной величиной называется
функция 
, измеримаяотносительно 
и борелевской
σ-алгебры на 
.
Вероятностное поведение отдельной
(независимо от других) случайной величины
полностью описывается её распределением.
Описание: Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.
Если случайная
величина дискретная, то полное и
однозначное математическое описание
её распределения определяется указанием
вероятностей 
всех
возможных значений этой случайной
величины. В качестве примера рассмотрим
биномиальный и пуассоновский законы
распределения.
Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:
.
При стремлении 
к
бесконечности произведение np остаётся
равной константе 
,
а закон распределения сходится к закону
Пуассона,
который описывается следующей формулой:
,
где
символ "
"
обозначает факториал,
— основание
натурального логарифма.