Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие.
Нера́венство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме — Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Биенэме (фран.) в 1853 году, и позже также Чебышевым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.
Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.
[править]Формулировки
Пусть случайная
величина 
определена
на вероятностном
пространстве
,
а её математическое
ожидание 
и дисперсия 
конечны.
Тогда
,
где 
.
Если 
,
где 
—
стандартное отклонение и 
,
то получаем
.
В частности, случайная
величина с конечной дисперсией отклоняется
от среднего больше, чем на 
стандартных
отклонения, с вероятностью меньше 
.
Она отклоняется от среднего на 
стандартных
отклонения с вероятностью меньше 
.
Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.
Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.
Слабый закон больших чисел
Пусть есть бесконечная
последовательность (последовательное
перечисление) одинаково распределённых
и некоррелированных случайных величин 
,
определённых на одном вероятностном
пространстве
.
То есть их ковариация 
.
Пусть 
.
Обозначим 
выборочное
среднее первых
членов:
.
Тогда 
.
Усиленный закон больших чисел
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . Пусть . Обозначим выборочное среднее первых членов:
.
Тогда 
почти
наверное.
Известная теорема Я. Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью, может быть доказана как прямое следствие закона больших чисел.
Теорема Я. Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется следующим образом:
Если производится независимых опытов и вероятность появления события в -м опыте равна , то при увеличении частота события сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей .