Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
П.1 Монотонные функции.
ОПР.
Функция
:
называется
возрастающей на множестве E
,
обозначение
,
если
ОПР.
Функция
:
называется
строго возрастающей на множестве E
,
обозначение
,
если
ОПР.
Функция
:
называется
убывающей на множестве E
,
обозначение
,
если
ОПР.
Функция
:
называется
строго убывающей на множестве E
,
обозначение
,
если
ТЕОРЕМА
1. Если
на
,
то существует
и
,
где
-
множество значений функции
на
.
ДОК.
(1) Пусть
=
+
.
Тогда
.
Выберем
.Тогда
и
поэтому
,
т.е.
.
(2)
Пусть
и
поэтому
,
т.е.
=В
.
Тогда
.
Выберем
.
Тогда
и
поэтому
,
т.е.
.
(3)
Пусть
=
-
. Тогда
.
Выберем
.Тогда
(4)
Пусть
=
А . Тогда
.
Выберем
,
тогда
и
поэтому
,т.е.
.
СЛЕДСТВИЕ
1. Если
на
,
то для любого
существуют
и
.
ТЕОРЕМА
2 . Если
на
,
то существует
и
,
где
-
множество значений функции
на
.
ДОК.
Достаточно применить теорему 1 для
функции
.
СЛЕДСТВИЕ
2. Если
на
,
то для любого
существуют
и
.
.
Если
(или
)
непрерывная функция на [a;b],
то существует и единственная обратная
к ней функция
,
определенная на отрезке
и
непрерывная, строго возрастающая ( или
убывающая ) на этом отрезке.
ДОК.
Пусть
и
непрерывна на [a;b].
Тогда
и
для любого
существует
и единственное значение
,
для которого
.
Действительно, если таких значений два
и
,
например
,
то
.
Положим
.
Тогда
на
,
т.е.
обратная
к
функция.
Докажем ее непрерывность на
.
Пусть
произвольная
точка интервала
и
.
Тогда для любого
существует
такое,
что
выполняется
неравенство
.
Строгое возрастание функции
следует
из неравенств :
.
Непрерывность
функции
в
граничных точках
и
следует
из теоремы 1 :
,
в
точке
ОПР.
.
Производной функции
.
ПРИМЕР
1 Вычислить производную функции
в
произвольной точке x
.
РЕШЕНИЕ.
.
,
называют число
-
путь, пройденный материальной точкой
к моменту времени t
,
-
расстояние, пройденное точкой за время
,
-
средняя скорость движения,
-
скорость в момент времени t
.
Точки
и
на
графике функции
соединены
прямой Lсек
– секущей,
-
При
прямая
Lсек
поворачивается вокруг точки А, занимая
предельное положение - - касательной
к графику функции в точке А.
-
угловой коэффициент ( тангенс угла
наклона ) касательной. Производная
функции
в
точке
x
равна тангенсу угла наклона касательной,
проведенной к графику функции в точке
с абсциссой x
.
Если
функция
имеет
производную в точке
,
то она непрерывна в этой точке.
-
бесконечно малая функция в точке
.,
т.е.
.
ДОК.
.
Тогда
,
где
ПРИМЕР
2 . Функция
непрерывна
в точке
,
но не имеет производной в этой точке.
РЕШЕНИЕ.
-
бесконечно малая функция в точке
,
т.е.функция
непрерывна
в точке
.Функция
не
имеет предела в точке
,
поскольку
,
и
пределы справа и слева не совпадают.
Если
функции
и
имеют
производную в точке
,
то
(1)
(2)
(3)
,
при
.
ДОК.
(2)
т.к.
функция
непрерывна
в точке
(теорема 4).
,
(3)
,
поскольку при
функция
(1) доказать самостоятельно.
УПРАЖНЕНИЯ.
1)
Докажите непосредственно, что
.
2)
Найдите функцию обратную к функции
на
.
3)
Функция
.
Найдите производную функции в точке
.
1) Монотонные функции. Теорема о существовании предела монотонной функции.
2) Теорема о существовании и непрерывности обратной
функции.
3) Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Примеры.
4) Теорема о непрерывности функции, имеющей производную.
5) Арифметическая теорема о производных.