Лекция 5. Предел функции.

и точку

такую, что

. В частности, точка

может быть внутренней точкой для E :

.

ОПР.(КОШИ) Число А называется пределом функции

в точке

, обозначение

, если

.

ОПР.(ГЕЙНЕ) Число А называется пределом функции

в точке

, обозначение

, если

ОПР.(ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ) Число А называется пределом функции

в точке

, обозначение

, если

по Коши :

.

Пусть

произвольная последовательность, для которой

.Тогда

, т.е.

.

(2) Пусть

по Гейне.

Предположим, что число А не является пределом функции

по Коши. Тогда

.

Построенная последовательность

сходящаяся и

. Тогда

. Полученное противоречие доказывает, что число А является пределом функции по Коши.

ОПР. Функция

называется ограниченной в окрестности

, если существует число М, для которого

ДОК. Из определения предела, следует для

существует

такая, что

.

имеет предел в точке

, то он только один.

ДОК. Предположим противное: Числа А и В являются пределами функции, причем

. Выберем

, тогда существует окрестность

, для которой

, что противоречит выбору числа

.

и

имеют пределы

А и В в точке

и

, для всех

.

Тогда

.

ДОК. Предположим противное:

. Выберем

. Тогда существует окрестность

, для которой

, то существует

для которой

. Тогда по определению предела, найдется

, для которой

.

, справедливо неравенство: 1)

и 2)

. Тогда

.

ДОК.

ОПР. Функция

, определенная в окрестности

, удовлетворяет критерию Коши , если

.

ТЕОРЕМА 7 . Для того, чтобы функция

, определенная в окрестности

, имела предел в точке a , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши в окрестности точки a .

ДОК. (1) Пусть

. Тогда

(2) Пусть функция удовлетворяет критерию Коши и

- произвольная последовательность,

, для которой

. Тогда

- фундаментальная. По доказанному, ( для последовательностей) существует число А, для которого

. Пусть

другая последовательность, для которой

.Тогда последовательность

также фундаментальная и поэтому сходящаяся. Пусть

.

Если

, то последовательность

также сходящаяся :

, но последовательность

не может быть сходящейся ( у нее по крайней мере два частичных предела А и В), хотя она фундаментальна. Источником полученного противоречия явилось предположение о том, что

, поэтому А=В и функция имеет предел по Гейне, равный А.

ОПР. Функция

называется бесконечно малой функцией в точке a , если

.

ОПР. Функция

называется бесконечно большой функцией в точке a , если

.

имела предел в точке a равный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление :

, где

бесконечно малая функция в точке a .

ДОК. (1) Если

, то функция

б.м.ф. Действительно,

(2)

.

бесконечно большая функция в точке a , то функция

- бесконечно малая в этой точке. Если функция

- бесконечно малая функция в точке a и

то функция

- бесконечно большая в этой точке.

ДОК. (1)

и

- бесконечно малые функции в точке a , то

+

- также б.м. Если

- ограниченная в окрестности точки a функция, то

- б.м.ф.

,

, то

(1)

(3)

.

ДОК. (2) По теореме о связи

,

, где функции

и

- бесконечно малые функции. Тогда

справедливы неравенства :

(

- длина дуги АВ₁ , а

- длина дуги катета АВ) и

.

Функция

б.м.ф. в точке

и поэтому, на основании теоремы о промежуточной функции,

также б.м.ф.Тогда из теоремы о связи

.

Площадь  ОАВ

, площадь сектора АОВ₁

, площадь ОА₁В₁

_.Справедливо неравенство : площадь  ОАВ< площадь сектора ОАВ< площадь ОА₁В₁





, поэтому на основании теорем о промежуточной функции и арифметической теореме о пределах

.

ПРИМЕР. Вычислить

.

РЕШЕНИЕ.

.

произвольная последовательность,

,для которой

.

Тогда

и для каждого n найдутся натуральные числа

или

. Справедливо неравенство

и

сходятся к числу e , поэтому на основании теоремы о промежуточной последовательности

по Гейне, а значит и по Коши.

(2) Пусть

- произвольная последовательность,

, для которой

.Обозначим

. Тогда

.Тогда

и

. Из доказанного в (1) следует, что

.

СЛЕДСТВИЯ (1)

.

ДОК.

ДОК. Замена

.

. Говорят, что функция

есть

О-большое от функции

в окрестности точки

,

обозначение

, если

.

ПРИМЕР.

в окрестности точки

. РЕШЕНИЕ.

.

Если

в окрестности

, то условие

равносильно ограниченности функции

в окрестности точки

. Последнее выполняется, например, если существует

.

в окрестности точки

, обозначение

, если

.

о(1) – бесконечно малая функция 

.

(2)

(3)

, где

- б.м.ф. (4)

.

(3)



, б.м.ф.

(4)





.

ОПР. Бесконечно малые в точке

функции

и

называются эквивалентными, если

.

Обозначение

 

. Отношение эквивалентности транзитивно:

 

,



, то



и симметрично:

 





.

 

 

, (3)

 

, 4)

 

,

(5)

 

, 6)

 

, (7)

 

,

(7)

 

,(8)

 

, (9)

 

и

, (5) – аналогично, (10)





.

 

,

 

в точке

, и существует

, то

.

ДОК.

.

и

эквивалентны в точке

, то

. Если бесконечно малые функции

и

связаны соотношением

,то они эквивалентны.

ДОК.(1)

.

имеет предел на бесконечности, обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел в точке

справа , обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел в точке

слева, обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел на

, обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел на

, обозначение

, если

.

УПРАЖНЕНИЯ 1) Сформулируйте понятие

.

2) Сформулируйте понятие

.

и

. Примеры.

непрерывна в точке

, если

.

ОПР. (эквивалентное).Функция

непрерывна в точке

, если ее приращение 

- бесконечно малая функция в точке

.

(здесь

)

в точке

.

РЕШЕНИЕ.

, поскольку

.

(2) Доказать, что функция

разрывная в точке

и непрерывна в любой точке

.

РЕШЕНИЕ.

, т.е. функция не является непрерывной в точке

.Пусть

. Тогда

. Функция

- ограничена в окрестности точки

. Функции

и

бесконечно малые в точке

, поэтому

, т.е. функция

непрерывна в точке

.

непрерывны в точке

. Тогда сумма

, произведение

,

непрерывные функции в точке

.

, точка

. Тогда функция

, определенная по правилу

, называется композицией функций f и g или сложной функцией.

ПРИМЕР. Функция

сложная и является композицией функций

и

,

.

непрерывна в точке

, функция

непрерывна в точке

, то сложная функция

непрерывна в точке

.

ДОК. Из условия теоремы

и

.

Тогда

и

ОПР. Функция

ограничена на отрезке [a;b], если

на отрезке [a;b] неограниченна 

. Последовательность

ограничена по построению, поэтому по теореме у нее есть предельная точка

. Поскольку функция

непрерывна в точке c , она ограничена в окрестности этой точки ( теорема об ограниченности функции, имеющей предел),

т.е.

. Тогда в окрестности

может находиться не более конечного числа членов последовательности

, что противоречит тому, что c – предельная точка последовательности

.

Доказано, что множество

значений функции

ограничено. Тогда по теореме о точной верхней и нижней грани существует

и

.

ОПР. Если

, то А называется наименьшим значением функции

на отрезке [a;b].

Обозначение

.

ОПР. Если

, то В называется наибольшим значением функции

на отрезке [a;b].

Обозначение

.

. Тогда, по определению точной нижней грани,

. Последовательность

ограничена, поэтому у нее есть предельная точка c₁

. Тогда у нее есть подпоследовательность

, для которой

и по теореме о промежуточной последовательности

.

Поскольку функция

непрерывна в точке

,

, т.е.

.

(2) Пусть

. Тогда, по определению точной верхней грани,

. Последовательность

ограничена, поэтому у нее есть предельная точка c₂

. Тогда у нее есть подпоследовательность

, для которой

, и по теореме о промежуточной последовательности

. Поскольку функция

непрерывна в точке

,

, т.е.

.

непрерывная функция на отрезке

, причем

. Тогда существует точка

.

ДОК. Разобьем отрезок

пополам. Если

, то теорема доказана. Если

, то выберем тот из отрезков разбиения, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через

. Повторим процесс деления : выберем тот из отрезков разбиения отрезка

, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок

и т.д. Построенная последовательность вложенных отрезков – стягивающаяся. По теореме о системе стягивающихся отрезков существует точка

, принадлежащая каждому из отрезков

. Если

, то из непрерывности функции

следует, что

сохраняет знак в некоторой окрестности

, что противоречит способу построения последовательности отрезков

, т.е.

.

:

. Требуется доказать, что

. Рассмотрим функцию :

. Она непрерывна на отрезке

,

и

т.е. на концах отрезка

функция

принимает значения разных знаков и, по доказанному в теореме 5, у нее есть ноль на этом отрезке :

.

непрерывная на множестве

не является на нем равномерно непрерывной.

РЕШЕНИЕ.

разность

может быть сделана как угодно большой за счет удаленности

от начала координат.

непрерывная на отрезке

равномерно непрерывна на этом отрезке.

ДОК. Предположим противное: функция не является равномерно непрерывной. Тогда существует

такое, что для любого

существуют

и

такие, что

, для которых

при любых

. Последовательности

и

ограничены и по теореме Вейерштрассе из них можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, причем по построению

. По условию теоремы функция

непрерывна в точке

, поэтому существует

:

и

.

Тогда

,

что противоречит выбору последовательности

и

, т.е. функция равномерно непрерывна.

ОПР. Функция

Равномерная непрерывность функции на множестве Х означает, что для нее

.

непрерывна в точке

.

(3) Приведите пример непрерывной неограниченной на интервале

функции.

для