- •Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).
- •Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.
- •Лекция 4. Предел последовательности ( продолжение)
- •Лекция 5. Предел функции.
- •Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
- •Лекция 9 . Производная функции 2.
- •Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
- •Лекция 11 . Формула Тейлора.
- •Лекция 13. Исследование функции, график функции.
- •Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
Лекция 4. Предел последовательности ( продолжение)
ОПР. Последовательность называется фундаментальной, если
В этом случае говорят, что последовательность удовлетворяет критерию КОШИ.
ТЕОРЕМА 1. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна и наоборот.
ДОК.
Пусть последовательность фундаментальна
.
Тогда она ограничена. Действительно,
все члены последовательности
с
номерами большими
лежат
на интервале
,
остальные, возможно, этому интервалу
не принадлежат, но их конечное число.
Тогда по теореме последовательность
имеет
предельную точку А.Докажем, что А
является пределом
.
Для любого
найдем
натуральное
,
для которого (1)
(
А – предельная точка )
(2)
,
(
последовательность фундаментальна).
Тогда
,
Пусть
последовательность
сходящаяся.
Тогда для любого
найдем
натуральное
,
для которого (1)
,
(2)
,
и
.
Тогда
,
т.е. последовательность фундаментальна.
ОПР.Последовательность
называется
бесконечно малой, если
.
ОПР.
Последовательность
называется
бесконечно большой, если
.
В
этом случае :
.
Если
сходящаяся
последовательность, имеющая пределом
число А, то существует бесконечно малая
последовательность
,
такая, что
.
ДОК.
Проверим, что последовательность
бесконечно
малая.
,
т.е.
.
Если
последовательность
бесконечно
большая, то последовательность
-бесконечно
малая последовательность (б.м.п). Если
бесконечно
малая последовательность и
,
то
-
бесконечно большая последовательность(б.б.п).
ДОК.
По условию последовательность
бесконечно
большая:
,
т.е.
последовательность
бесконечно
малая.
Если
б.м.п.,
то
.
ТЕОРЕМА 4. (арифметические теоремы о бесконечно малых последовательностях)
Пусть
и
-
две бесконечно малые последовательности,
-
ограниченная последовательность.
Тогда
(1)
последовательность
бесконечно
малая.
(2)
последовательность
бесконечно
малая.
ДОК.
(1)
(2)
-
ограниченность,
-
б.м.п,
.
Пусть
и
-
две сходящиеся последовательности:
,
.
Тогда
(1)
(2)
,
(3)
,
.
ДОК.(3)
,
,
где
,
б.м.п.
(теорема) 2) Если
,
то последовательность
ограничена.
Тогда
.
Последовательность
б.м.п.
и
б.м.п.
(теорема 4). Тогда
по
ДОК. (1), (2) – самостоятельно.
ТЕОРЕМА 6. ( о переходе к пределу в неравенствах)
Пусть
(1)
,
-
сходящаяся последовательность.
Тогда
.
Пусть (2)
и
-
две сходящихся последовательности,
причем
.
Тогда
.
ДОК.
(1) . Предположим противное :
.Тогда
для
,
что противоречит условию (1) теоремы.
(2)
для последовательности
выполняются
условия (1) теоремы, тогда
.
Пусть
(2)
,
,
две
сходящиеся последовательности, причем
.Последовательность
удовлетворяет
неравенству :
.
Тогда
.
ДОК.
,т.е.
.
Последовательность
имеет
предел, равный числу e=2,71….
ДОК.
Напомним формулу бинома Ньютона:
,
где
-
коэффициенты бинома. Применим формулу
для
.
При увеличении n
число слагаемых в сумме увеличивается,
а каждое слагаемое также увеличивается,
т.е.
монотонно
возрастающая последовательность.
Докажем ее ограниченность сверху.
Тогда
по теореме
имеет
предел.
УПРАЖНЕНИЯ.
(1) Доказать, что если последовательность
сходящаяся,
то последовательность
также
сходящаяся. (2) Справедливо ли утверждение
: сумма двух бесконечно больших
ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.
1) Фундаментальная последовательность. Теорема о сходимости фундаментальной последовательности.
2) Бесконечно малые последовательности. Теорема о связи сходящейся и бесконечно малой последовательностями.
3) Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями.
4) Арифметические теоремы о бесконечно малых последовательностях.
5) Арифметические теоремы о пределах.
6) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
7) Теорема о промежуточной последовательности.
8) Число е.