4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка

Определение 35. Линией второго порядка называется множество точек плоскости, которое в некоторой АСК можно задать уравнением второй степени от двух переменных.

Примерами таких линий являются окружность, эллипс, гипербола и парабола. Очевидно, в различных системах координат одна и та же линия будет задаваться различными уравнениями. При изучении этих линий прежде всего встают вопросы:

• Как выбрать такую систему координат, в которой линия имела бы наиболее простое уравнение.

• Какие существуют типы линий второго порядка.

Для решения этих вопросов нужно знать, как преобразуются координаты точек при переходе от одной системы координат к другой.

4.2.1. Преобразование аффинных координат на плоскости

Пусть на плоскости заданы две системы аффинных координат реперами R = и R¹ = , где О¹(х₀, у₀)_R, , . Пусть М – произвольная точка плоскости, М(х, у)_R и М(х¹, у¹ . Поставим задачу: найти связь между координатами х, у и х¹, у¹.

М(х, у)R  ; М(х1, у1  ; О1(х0, у0)R  ; . Отсюда следует, что = + . Так как и , то получаем = ( .

Рис. 76

В левой и правой частях полученного равенства стоят разложения векторов по базису . Так как равные векторы имеют равные координаты, то

(63)

Так как  базис, то

Очевидно и обратное. Если заданы формулы (63) с отличным от нуля определителем, то их можно рассматривать, как формулы, связывающие координаты одной и той же точки, если первая система аффинных координат задана произвольным репером R = , а вторая система координат задана репером R¹ = , где О¹(х₀, у₀)_R, , .

Замечание. Часто первую систему координат называют «старой» системой координат, а координаты точки в этой системе координат – «старыми» координатами. При этом вторую систему координат называют «новой».

Формулы (63) называются формулами преобразования аффинных координат. В этих формулах старые координаты точки выражаются через новые координаты этой же точки.

Если системы аффинных координат отличаются только началом координат, т.е. R¹ = , то формулы преобразования координат будут иметь вид х¹= х + х₀ , у¹= у + у₀. Если обе системы координат имеют общее начало координат, то в формулах (63) не будет свободных членов.

4.2.2. Преобразование прямоугольных координат

Пусть на плоскости даны две системы прямоугольных координат, заданные реперами R = и R¹ = , О¹(х₀, у₀)_R и (рис. 61). Пусть М(х, у)_R и М(х¹, у¹ .

Так как прямоугольная система координат является частным случаем аффинной, то можно воспользоваться формулами (63), но для этого нужно найти старые координаты векторов и . Возможны два случая: 1) Реперы R = и R1 = одинаково ориентированы. Так как пр , пр ) = (cos, sin)

Рис. 77

и пр , пр ) = (sin, cos), то формулы (9) будут иметь вид

(64)

2) Реперы R = и R¹ = противоположно ориентированы.

В этом случае формулы (9) примут вид (65)