2.7.2.5. Расстояние от точки до прямой

Дано: , l : , М1(x1, y1, z1). Найти расстояние d (M1, l). Из уравнений прямой l следует, что точка M0 (x0, y0, z0 ) лежит на прямой l и вектор параллелен этой прямой. Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на

Рис. 52

векторах и как на сторонах (рис. 37). Следовательно,

.

Переписав это равенство в координатах, получим

(53)

2.7.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Дано: , l1 : , l2 : , l1 и l2 скрещиваются. Найти d (l1, l2). Из уравнений l1 и l2 следует, что M1 (x1, y1, z1)  l1, M2 (x2, y2, z2) l2 и векторы и

Рис. 53

параллельны прямым l₁ и l₂ соответственно. Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , и . Следовательно,

.

Переписав это равенство в координатах, получим

(54)

Задача 19. Дано: , l₁ : l₂ :

Проверьте, что l₁ и l₂ скрещиваются и найдите расстояние между ними.

Решение. Найдём направляющий вектор прямой l₁ и какую-нибудь точку на ней.

, М₁ = {1, 2, 9}. Из уравнений l₂ следует, что М₂ (4, 1, 0) и 1, 3}. Вычислим . Следовательно, l₁ и lскрещиваются. Найдём . Следовательно, = и .

2.7.3. Геометрический смысл неравенства Ах + Ву + Сz + D  0 ( 0,  0,  0)

Дано: R = , Ах + Ву + Сz + D  0. Исследовать, какую фигуру задаёт данное неравенство. Уравнение Ах + Ву + Сz + D = 0 задаёт плоскость. Пусть это плоскость П. Рассмотрим все точки пространства, не лежащие на П. Вектор не параллелен плоскости П. Действительно, если бы был параллелен П, то АА + ВВ + СС = А2 + В2 + С2= 0. Но это не возможно.

Рис. 54

Рассмотрим множество всех точек пространства, не лежащих на плоскости П. Пусть М – любая из этих точек. Проведём через точку М прямую, параллельную вектору , и пусть она пересекает П в точке N. Векторы и коллинеарны, , следовательно, . () Очевидно,   0  когда точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . И   0  когда точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей. Перейдём к координатам. Пусть М (х, у, z) и N (х₁, у₁, z₁). Тогда = {x  x₁, y  y₁, z  z₁}. Равенство () в координатах перепишется:

x  x₁ = A, y  y₁ = B, z  z₁ = C.

Отсюда x₁ = x  A, y₁ = y  B, z₁ = z  C. Так как N  П, то Ах₁ + Ву₁ + Сz₁ + D = 0. Следовательно, А(x  A) + В(y  B) + С (z  C) + D = 0. Ах + Ву + Сz + D =  (A² + B² + C²).

Так как A² + B² + C²  0, то знак Ах + Ву + Сz + D совпадает со знаком .

Итак, Ах + Ву + Сz + D  0  точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . Ах + Ву + Сz + D  0  точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей.

Неравенства Ах + Ву + Сz + D  0 и Ах + Ву + Сz + D  0 определяют замкнутые полуплоскости (их называют просто полуплоскости) с границей П.

Задача 20. Какую фигуру задаёт в аффинной системе координат система ?

Решение. Уравнение x + z  2 = 0 задаёт плоскость П1, параллельную оси (Оу) и пересекающую оси (Ох) и (Оz) в точках (2, 0, 0) и (0, 0, 2) соответственно. Неравенство задаёт полуплоскость с границей П1, в которой не лежит начало координат (ибо координаты начала координат не удовлетворяют этому неравенству). Уравнение 2x + y  4 = 0 определяет плоскость П2, параллельную оси (Оz) и пересекающую оси (Ох) и (Оу) в точках (2, 0, 0) и (0, 4, 0). Неравенство задаёт полуплоскость с границей

П₂ , в которой не лежит начало координат. Плоскости П₁ и П₂ пересекаются по прямой АВ. Данная система задаёт пару вертикальных двугранных углов с гранями П₁ и П₂, ни в одном из которых не лежит начало координат.