2.7.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
Дано: R = , П1 : А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2 : А2х + В2у + С2z + D2 = 0.
Исследовать взаимное расположение П1, П2 .
Решение. Задача сводится к
исследованию системы
(46)
Возможны случаи.
1. А1, В1, С1 и А2, В2, С2 не пропорциональны. В этом случае система (46) имеет бесконечно много решений, но уравнения не пропорциональны. На геометрическом языке получаем, что плоскости имеют бесконечно много общих точек, но не совпадают. Следовательно, П1 и П2 пересекаются по прямой.
Замечание. Если прямая задана общими уравнениями (19), то каждое отдельно взятое уравнение задаёт прямую, т.е. прямая задаётся как линия пересечения двух плоскостей.
2.
.
В этом случае уравнения системы (46)
эквивалентны, т.е. каждое решение одного
из них является решением второго. На
геометрическом языке: каждая точка
одной плоскости лежит на другой, т.е.
плоскости совпадают.
3.
.
В этом случае системы (46) не имеет
решений. На геометрическом языке:
плоскости не имеют общих точек.
Следствие. Плоскости П1 : А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2 : А2х + В2у + С2z + D2 = 0 параллельны тогда и только тогда, когда .
Задача 16. Исследовать взаимное расположение плоскостей, если одна из них задании общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.
Дано: R =
,
П1 : Ах + Ву + Сz
+ D = 0, П2
:
Исследовать
взаимное расположение П1,
П2 .
Решение. Задача сводится к
исследованию системы
()
Подставив выражения х, у, z в первое уравнение и преобразовав его, получим
()
Возможны случаи:
1)
0 ( или
0). В этом случае уравнение ()
имеет бесконечно много решений, зависящих
от одного параметра. Следовательно,
система () тоже
имеет бесконечно много решений, зависящих
от одного параметра. На геометрическом
языке это значит, что плоскости
пересекаются по прямой.
2)
=
0,
=
0,
=
0. В этом случае уравнение ()
имеет вид 0u +
0v + 0 = 0. Этому
уравнению удовлетворяют все возможные
значения u и v. На геометрическом
языке это значит, что все точки первой
плоскости лежат на второй и наоборот.
Следовательно, плоскости совпадают.
3) = 0, = 0, 0. В этом случае уравнение () имеет вид 0u + 0v + ( ) = 0. Это уравнение не имеет ни одного решения. На геометрическом языке это значит, что данные плоскости не имеют общих точек.
Следствие. Если П1 : Ах + Ву + Сz + D = 0, П2 : то П1 || П2 = 0, = 0.
Задача 17. Исследовать взаимное расположение плоскости и прямой, если
а) плоскость задана общим уравнением, прямая – параметрическими уравнениями;
б) плоскость и прямая заданы общими уравнениями.
2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
2.7.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Дано:
,
М0(х0, у0,
z0),
П М0, П . Найти уравнение П.
Решение. М
П либо
М П (47) Это векторное уравнение данной плоскости.
|
Рис. 48 |
,
,
,
либо
.
Так как
,
то
Переходя к координатам, получим А(х х0) + В(у у0) + С(z z0) = 0/ (48)
Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.