2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости

2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Дано: R = , М0(х0, у0), , , l  M0, l  . Найти уравнение l. Найти уравнение l – это значит найти условие, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. М  l  либо , либо  () Так как , то () перепишется

Рис. 35

(24)

Полученное уравнение – это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Переписав уравнение (24) в координатах, получим

А(х  х₀) + В(у  у₀) = 0 (25)

Поставим обратную задачу:

Дано: R = , l : Ax + By + C = 0 ().

Доказать: если , то .

Доказательство. Пусть М(х, у) – произвольная точка данной прямой и М₀(х₀, у₀) – некоторая фиксированная её точка. Тогда Ах₀ + Ву₀ + С = 0. Вычитая почленно полученное тождество из уравнения (), получим уравнение А(х  х₀) + В(у  у₀) = 0, эквивалентное уравнению (), т.е. уравнение (25). Если , то (25) можно записать Вектор либо нулевой, либо параллелен l. Так как , то для всех точек М  l , отличных от М₀, имеет место . Отсюда следует, что .

2.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)

Дано: R = , М0(х0, у0), l  М0, (угол  ориентированный). Найти уравнение l. Для решения задачи достаточно знать вектор, параллельный данной прямой. Возьмём вектор такой, что и . Очевидно,  l. Так как координаты вектора в прямоугольной системе координат равны ортогональным

Рис. 36

проекциям этого вектора на соответствующие оси, то . Используя каноническое уравнение прямой на плоскости (16), получим

l : (26)

Прямые, не перпендикулярные оси (Ох), называются наклонными. Для таких прямых , следовательно, уравнение (26) можно привести к виду

, где (27)

Если l  (Ох), то уравнение (26) можно привести к виду х = х₀ (28) Это уравнение вертикальной прямой.

Если l – наклонная прямая и l  (Оу) = В, где В(0, в), то уравнение (27) преобразуется к виду у = кх + в (29)

Уравнение (29) называют уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении к – тангенс угла наклона прямой к оси (Ох), в – отрезок, отсекаемый прямой на оси (Оу).

2.3.3. Нормальное уравнение прямой

Дано: R = , : , , l  Р, l  . Найти уравнение l. М  l  пр = р. Отсюда М  l  . Так как , , то

Рис. 37

М  l  . Отсюда М  l  (30)

Уравнение (30) называется нормальное уравнение прямой. В этом уравнении

(cos)² + (sin)² = 1, свободный член (р)  0.

Очевидно, нормальное уравнение прямой является одним из общих её уравнений. Если прямая задана в аффинной системе координат уравнением Ax + By + C = 0, то все остальные её общие уравнения имеют вид Ax + By + C = 0, где   0 (). Следовательно, существует такое , при котором уравнение () будет нормальным уравнением данной прямой. Для этого должны выполняться условия (А)² + (В)² = 1, (С)  0. Отсюда и знак перед корнем должен быть противоположен знаку С. (Если С = 0, то знак можно взять любой). Коэффициент называется нормирующим множителем, а уравнение будет нормальным уравнением данной прямой. Говорят, что уравнение Ax + By + C = 0 приведено к нормальному виду.