2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве

На плоскости

Дано: R = , М₀(х₀, у₀), , , l  M₀, l  .

Найти условие, определяющее l.

Пусть М(х, у).

Рис. 33

М  l  коллинеарен 

либо 1)

либо 2) координаты и пропорциональны.

Рассмотрим оба случая.

1) М  l  Если , , то получим

(14)

Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Перепишем в координатах. Получим

Отсюда (15)

В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

2) М  l  координаты и пропорциональны  (16).

Это каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

В пространстве

Дано: R = , М₀(х₀, у₀, z₀), , , l  M₀, l  .

Найти условие, определяющее l.

Пусть М(х, у, z).

Рис. 33¹

М  l  коллинеарен 

либо 1)

либо 2) координаты и пропорциональны.

Рассмотрим оба случая.

1) М  l  Если , , то получим

(14¹)

Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Перепишем в координатах. Получим

Отсюда (15¹)

В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

2) М  l  координаты и пропорциональны  (16¹) Это канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

На плоскости

Дано: R = , М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂), М₁  М₂; l  M₁, l  M₂.

Найти уравнения l.

Так как М₁  М₂, то и l  . Следовательно, можно использовать уравнения (15) и (16). Получим (17)

Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки.

Из уравнения (16) получим

(18)

Это каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки.

В пространстве

Дано: R = , М₁(х₁, у₁,z₁),

М₂(х₂, у₂, z₂), М₁  М₂; l  M₁, l  M₂.

Найти уравнения l.

Так как М₁  М₂, то и l . Следовательно, можно использовать уравнения (15¹) и (16¹). Из уравнений (15¹) получим

(17¹)

t R.

Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки.

Из уравнения (16¹) следует

(18¹).

Это канонические уравнения прямой, проходящей через две точки.