З.И.Андреева

Аналитическая геометрия

(для направления «Прикладная математика и информатика»)

Содержание

I. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 5

1.1. Определение и свойства векторов 5

1.2. Сложение векторов 5

1.3. Умножение вектора на действительное число 7

1.4. Коллинеарные векторы 7

1.5. Компланарные векторы 8

1.6. Векторные пространства 9

1.7. Линейная зависимость и независимость векторов 10

1.8. Базис векторного пространства. Координаты вектора 10

1.9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости 12

1.10. Проекция вектора на ось 12

1.11. Ортогональная проекция вектора на ось 13

1.12. Скалярное произведение векторов 14

1.13. Метод координат на плоскости и в пространстве 15

1.14. Векторное произведение векторов 18

1.15. Смешанное произведение векторов 20

II. ОБРАЗЫ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ 22

2.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат 22

2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве 23

2.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору 23

2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки 24

2.2.3. Общие уравнения прямой 25

2.2.4. Исследование взаимного расположения прямых 26

2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости 28

2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору 28

2.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох) 29

2.3.3. Нормальное уравнение прямой 29

2.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями 30

2.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами 30

2.3.6. Расстояние от точки до прямой 31

2.4. Пучок прямых на плоскости 32

2.5. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + С  0 ( 0, 0,  0) 33

2.7. Прямая и плоскость в пространстве 33

2.7.1. Плоскость в аффинной системе координат 34

2.7.1.1. Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам 34

2.7.1.2.. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки 34

2.7.1.3. Общее уравнение плоскости 34

2.7.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей 35

2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат 36

2.7.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору 36

2.7.2.2. Угол между двумя плоскостями 37

2.7.2.3. Угол между прямой и плоскостью 37

2.7.2.4. Расстояние от точки до плоскости 37

2.7.2.5. Расстояние от точки до прямой 38

2.7.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми 38

3. Различные системы координат на плоскости и в пространстве 40

3.1. Полярная система координат на плоскости 40

3.2. Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве 41

4. ОБРАЗЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА 41

4.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 41

4.1.1. Окружность 41

4.1.2. Эллипс 41

4.1.3. Гипербола 44

4.1.4. Парабола 46

4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах 47

4.2. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 48

4.2.1. Преобразование аффинных координат на плоскости 48

4.2.2. Преобразование прямоугольных координат 49

4.2.3. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте системы координат 50

4.2.4. Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка 50

4.3. ПОВЕРХНОСТИ 52

4.3.1. Цилиндрические поверхности 52

4.3.2. Конические поверхности 54

4.3.3. Поверхности вращения 55

4.3.4. Эллипсоид 55

4.3.5. Однополостный гиперболоид 56

4.3.6. Двуполостный гиперболоид 57

4.3.7. Эллиптический параболоид 58

4.3.8. Гиперболический параболоид 58

4.3.9. Прямолинейные образующие поверхности 59

Литература 61

Основная литература 61

Дополнительная литература 62

Методические пособия 62