2.4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лагерра

Докажем ортогональность и нормированность с весом е^-x полиномов L_n(x), исходя из формулы (5). Рассмотрим интеграл

.

• При m≤n. Интегрируя т раз по частям и учитывая, что из-за наличия множителя вида x^ke^-x (k > 0) все подстановки обращаются в нуль, получаем

. (13)

• при m<n. Интегрируя еще раз, находим J_mn=0, так как

.

• При m=n имеем

и

. (14)

Итак, полиномы Чебышёва-Лагерра образуют ортонормированную с весом е^-x систему функций:

. (15)

2.5. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра

При изучении движения электрона в поле кулоновских сил, а также в других задачах современной физики наряду с полиномами L_п(х) встречаются обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра . Теорию этих полиномов можно построить по аналогии с обычными полиномами Чебышева-Лагерра пп.1.1-1.4, исходя из производящей функции

, s > -1 (16)

и разлагая ее в ряд по степеням ρ:

; . (17)

Повторяя рассуждения, проведенные для s=0 в пп.1.1, находим:

(18)

т. е. действительно является многочленом п-й степени.

Вводя функцию и дифференцируя ее (n+2) раз по х, находим для функции уравнение

.

Вычислим производные для

,

и учтем при этом уравнение для U:

;

тогда получим уравнение

. (19)

которому удовлетворяют обобщенные полиномы . Тем самым доказано, что обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям

следующей задачи:

найти значения λ, при которых уравнение

или

(20)

имеет в области 0≤x< нетривиальное решение, ограниченное при х=0 и возрастающее при не быстрее конечной степени х.

Исходя из дифференциальной формулы (18) и проводя рассуждения по аналогии с п. 1.4, нетрудно доказать, что обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра образуют ортогональную с весом e^-xx^s систему функций:

Обобщенным полиномам Чебышёва-Лагерра соответствуют ортогональные и нормированные с весом ρ(х)=1 функции. Запишем соответствующие две функции

,

,

,

.

Подставляя это выражение в уравнение (19) получаем:

, (21)

где

при граничных условиях < , , соответствующими собственным значениям

.

Из формулы (20) видно, что для λ_n, равного п+1/2 (если в уравнении (20) λ заменить на λ+1/2, то при s = 0 оно совпадет с уравнением Чебышёва-Лагерра (11)).

§3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера

3.1. Уравнение Шредингера

В квантовой механике поведение частицы, находящейся в поле потенциальных сил, описывается уравнением Шрёдингера

, (1)

где ћ = 1,054•10^-34 Дж•с — постоянная Планка, , μ — масса частицы, U — ее потенциальная энергия в силовом поле, — волновая функция.

Если силы не зависят от времени, т. е. U = U(x,y,z), то возможны стационарные состояния с заданным значением энергии, т. е. существуют решения вида

, (2)

где Е — общая энергия частицы. Подставляя это выражение в уравнение (1), приходим ко второму уравнению Шрёдингера

, (3)

в котором Е играет роль собственного значения, подлежащего определению. В дальнейшем :

. (4)

В случае отсутствия силового поля (U = 0) уравнение (4) принимает вид

. (5)

Нетрудно заметить сходство этого уравнения с волновым уравнением классической физики

, (6)

где - волновое число, λ - длина волны. Однако это сходство является чисто внешним и формальным в силу различия физического смысла функций, входящих в уравнения (5) и (6).

В уравнении Шрёдингера непосредственный физический смысл имеет не сама функция ψ, а значение , которое истолковывается в статистическом духе: выражение означает вероятность пребывания частицы внутри элементарного объема dxdydz в точке (х, у, z) пространства.

В связи с этим нормировка собственных функций к единице, которой мы неоднократно пользовались ранее в целях математической простоты, теперь приобретает фундаментальное значение. Условие нормировки

(7′)

означает, что частица находится в каком-либо месте пространства и поэтому вероятность найти частицу где-нибудь в пространстве равна единице (достоверное событие).

Рассмотрим некоторые простейшие задачи для уравнения Шрёдингера.