3.3. Функции мнимого аргумента

Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. Рассмотрим цилиндрические функции 1-го рода от чисто мнимого аргумента.

Подставляя в ряд, определяющий J_ν(x), значение ix вместо x, получаем

, (15)

где

(16)

- вещественная функция, связанная с J_ν(ix) соотношением

, или .

В частности, при ν=0

(17)

Из ряда (16) видно, что I_ν(x) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при x=0 нуль ν-го порядка. Пользуясь асимптотической формулой (5), получим, что для I_ν(x) должна иметь место асимптотическая формула

, (18)

при больших значениях аргумента x.

Аналогично вводится I_-ν(x). Функции I_ν и I_-ν при нецелом ν линейно независимы, так как в точке x=0 при ν>0 функция I_ν(x) имеет нуль ν-го порядка, а I_-ν(x) – полюс x=0. Если ν=n – целое число, то I_-n(x)= I_n(x).

Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения

(19)

и, в частности, функция I₀(x) удовлетворяет уравнению

. (20)

Наряду с функцией I_ν(x) рассматривают функцию Макдональда K_ν(x), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента

. (21)

K_ν(x) является вещественной функцией x. Формула (12) и (13) дают

при ν≠n,

. (22)

Пользуясь асимптотическим выражением для , находим:

(23)

Формулы (23) и (18) показывают, что K_ν(x) экспоненциально убывают, а I_ν(x) экспоненциально возрастают при x→ . Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность представлений любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации

.

В частности, если y ограничено на бесконечности, то A=0 и B=0 и y=AI_ν(x).

Из линейной независимости I_ν и K_ν следует, что K_ν(x) имеет в точке x=0 полюс ν-го порядка (K_ν(x) ) при ν≠0 и логарифмическую особенность при ν=0.

при x→0.

Наиболее важное значение имеет функция

. (23)

Упражнения 3

1. Доказать второе реккурентное соотношение для функций Бесселя (формула (18)).

2. Получить функции J_1/2(x) и J_-1/2(x).

3. С помощью рекуррентной формулы для функций Бесселя получить функции J_3/2(x), J_5/2(x), J_7/2(x), J_9/2(x).

4. Установить связь между функциями , , , , .

5. Получить выражения квадрата нормы функций Бесселя для второй краевой задачи.

58