28) Числовий ряд - це числова послідовність, розглянута разом з іншою послідовністю, яка називається послідовністю часткових сум (ряду).
Замість нескінченного підсумовування, користуючись знаком суми, часто пишуть ∑
Поняття нескінченного ряду, це нове поняття, ми поки не вміємо визначати, чому дорівнює його сума.
Означення. N - ою частковою сумою ряду називається скінчена сума всіх членів ряду до n - ого члена включно, тобто сума
Означення. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує скінчена границя послідовності його часткових сум
Якщо границя дорівнює нескінченності або не існує, то кажуть, що ряд розбігається.
1)Матриці. Дії над ними.
Матриця - це прямокутна таблиця, яка складена з деякої кількості рядків ( або стовпців ) однакової довжини.
Матриці записують слідуючим чином :
Кажуть,
що матриця A
є прямокутна
матриця розміру
(m
n)
.
Якщо m=n , то A називається квадратною матрицею порядку n .
Числа aij називають елементами матриці, індекс i вказує на номер рядка, j на номер стовпця, на перетині яких розташований даний елемент.
Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою. Позначають нуль-матрицю просто 0 (нуль).
Елементи квадратної матриці, які розташовані на перетині рядків та стовпців з однаковими номерами, складають головну діагональ квадратної матриці.
Якщо рядки матриці A записати стовпцями (у порядку слідування рядків матриці A), то таке перетворення називають транспонуванням матриці A . Транспоновану матрицю позначають AT .
Якщо довільна квадратна матриця A задовільняє умові AT=A , то така матриця називається симетричною, якщо ж AT=−A , то - кососиметричною.
Нехай
A=(aij)
B=(bij)
- матриці однакового розміру. Сумою цих
матриць називається матриця A+B=C=(cij),
де cij=aij+bij,
тобто, дія додавання матриць виконується
поелементно. Добутком матриці A=(aij)
на число
називається
матриця
A=(
aij).
Добутком однієї матриці на другу є матриця, у якої елемент, розташований на перетині i-го рядка та j-го стовпця, визначається як добуток i-го рядка першої матриці на j-тий стовпець другої.
Основні властивості операцій додавання матриць і множення матриці на число: 1. A+B=B+A (комутативність).
2. A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативність).
3. A+0=A, при будь-якій матриці A.
4. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (−A), така, що A+(−A)=0.
Властивості
множення матриць:
1. (
A)B=A(
B)=
AB,
де
-
число.
2.
(A1+A2)B=A1B+A2B
A(B1+B2)=AB1+AB2
3. A(BC)=(AB)C (асоціативність).
Множення матриць є некомутативною операцією.
Властивості операції транспонування: 1. (AT)T=A
2. (A+B)T=AT+BT
3. (AB)T=BTAT
2) Визначники другого, третього порядку. Властивості визначників.
Значення
виразу
називають
визначником
(детермінантом) другого порядку.
називають визначником третього порядку.
Порядок визначника дорівнює числу його рядків (число стовпців співпадає з числом рядків).
Символи
називають
елементами визначника, причому перший
індекс
вказує
номер рядка, а другий індекс
–
номер стовпця, на перетині яких стоїть
даний елемент.
Властивості
1)Визначник змінить знак на протилежний, якщо переставити місцями два рядки (два стовпці).
2) Якщо всі елементи рядка (стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
3) Визначник з двома однаковими рядками (стовпцями) дорівнює нулю.
4). Спільний множник усіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
5) Якщо елементи деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників
6). Якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, то значення визначника не зміниться.
15) Взаємне розміщення двох прямих на площині. Кут між прямими. Умови перпендикулярності і паралельності.
Взаємне розміщення прямих на площині
Дві прямі на площині можуть:
• збігатися;
• бути паралельними (тобто не перетинатися);
• мати одну спільну точку.
Нехай дві прямі і задані рівняннями
і . Позначимо через
і кути, які утворюють прямі і з додатнім напрямком осі (рис.3.8), а це кут між цими прямими.
Рис.3.8
Тоді а Оскільки, то
або (3.13)
Якщо прямі і паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні
Якщо прямі перпендикулярні, то , а тому
Можна обчислювати кут між двома прямими як кут між їх нормальними векторами і