20)Частинні похідні багатьох змінних. Економічний зміст частинних похідних.

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_x або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Застосування частинних похідних в економіці.

Диференційовна функція z = f(x, у) — це функція, повний приріст якоїможна подати у вигляді = Ах + Ву + х + у, де А , В — чис­ла, , — нескінченно малі при, а 0.

Повний приріст — це різниця f(x0 + х, у0 + у) - f(x0, y0), де х, у — прирости, що надаються точці (х0, у0) так, щоб точка (х0 + х, у0 + у) не виходила за межі околу точки (х0, у0).

Повний диференціал — це головна лінійна частина приросту функції, тобто Aх + Bу.

Повний диференціал функції двох змінних z = f(x, у) обчислюється за формулою

Похідна за напрямом характеризує швидкість змінювання функції z = f (x; y). У точці Po(x0;y0)за напрямом = (cos , cos ) і обчислюється за формулою

Градієнт — це вектор з координатами, який характеризує напрям максимального зростання функції z - f(x,y) у точці Р0 (х0, у0):

21) Екстремум функції двох змінних.Необхідні та достатні умови екстремуму функції

1Необхідною умовою екстремуму є рівність нулю приватних похідних функції по x та по y. Точка M0 (x0, y0), в якій в нуль звертаються обидві приватні похідні, називається стаціонарною точкою функції z = f (x, y).

2

Зауваження. Приватні похідні функції z = f (x, y) можуть не існувати в точці екстремуму, тому точками можливого екстремуму є не тільки стаціонарні точки, але й точки, в яких приватні похідні не існують (їм відповідають вістря поверхні - графіка функції).

3

Тепер можна перейти до достатніх умов наявності екстремуму. Якщо дифференцируемая функція має екстремум, то він може бути тільки в стаціонарній точці. Достатні умови екстремуму формулюються таким чином: нехай у деякій околиці стаціонарної точки (x0, y0) функція f (x, y) має безперервні приватні похідні другого порядку. Наприклад: (див. рис.2)

4

Тоді: а) якщо Q>0, то в точці (x0, y0) функція має екстремум, причому при f'' (x0, y0) 0) - локальний мінімум; б ) якщо Q

5

Для відшукання екстремуму функції двох змінних можна запропонувати наступну схему: спочатку знаходяться стаціонарні точки функції. Потім у цих точках перевіряються достатні умови екстремуму. Якщо функція в якихось точках не має приватних похідних, то в цих точках теж може бути екстремум, але достатні умови вже не будуть застосовуватися.

6

Приклад. Знайти екстремуми функції z = x ^ 3 + y ^ 3-xy. Рішення. Знайдемо стаціонарні точки функції (див. рис. 3):

7

Рішення останньої системи дає стаціонарні точки (0, 0) і (1/3, 1/3). Тепер необхідно перевірити виконання достатньої умови екстремуму. Знайдіть другі похідні, а також стаціонарні точки Q (0,0) і Q (1/3, 1/3) (див. рис 4):

8

Так як Q (0, 0) 0, отже, в точці (1/3, 1/3) екстремум є. З урахуванням того, що друга похідна (по xx) в (1/3, 1/3) більше нуля, необхідно прийняти рішення, що ця точка є мінімумом.

Необхідна умова досягнення дифференцируемой функцією  экстремума  в крапці   геометрично виражається в тім, що дотична площина до поверхні - графікові функції  у відповідній її крапці паралельна площини незалежних змінних.

Тепер визначимо достатні умови для экстремума функції двох змінних. Так само як і для функції одна змінної, необхідний ознака экстремума у випадку багатьох змінних не є достатнім. Це значить, що з рівності нулю часток похідних у даній крапці зовсім не треба, що ця крапка обов'язково є крапкою экстремума. Візьмемо функцію   Її частки похідні   дорівнюють нулю на початку координат,

однак функція экстремума  не досягає. Справді, функція  , будучи рівної нулю на початку координат, має в будь-якій близькості до початку координат як позитивні  значення (у перших і третьому координатних кутах), так і негативні (у других і четвертому координатних кутах), і виходить, нуль не є ні найбільшим, ні найменшим значенням цієї функції.

       Достатні умови экстремума для функції декількох змінних носять значно більше складний характер, чим для функції однієї змінної. Ми розглянемо ці умови без доказу тільки для функції двох змінних.