22) Умовний екстремум для функції двох змінних.

Умовні Экстремумы

 Нехай задана функція   й лінія L на площині 0xy. Завдання полягає в тім, щоб на лінії L знайти таку крапку P(x, y), у якій значення функції  є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції в крапках лінії L, що перебувають поблизу крапки P. Такі крапки P називаються крапками умовного экстремума функції   на лінії L. На відміну від звичайної крапки экстремума значення функції в крапці умовного экстремума рівняється зі значеннями функції не у всіх крапках деякої її околиці, а тільки в тих, які лежать на лінії L.

       Зовсім ясно, що крапка звичайного экстремума (говорять також безумовного экстремума) є й крапкою умовного экстремума для будь-якої лінії, що  проходить через цю крапку. Зворотне ж, зрозуміло, невірно: крапка умовного экстремума може й не бути крапкою звичайного экстремума. Поясню сказане звичайним прикладом. Графіком функції 

23) Поняття первісної та її властивості.

Функція   зветься первісною функції   на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо   — похідна функції   на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції   існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.

Якщо   — будь-яка первісна функція   то  , де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції  " посилається до множини   яка складається з усіх первісних функції   де   — довільна константа.

1. Властивості первісної

• Первісна суми дорівнює сумі первісних

• Первісна твори константи та функції дорівнює добутку константи і первісної функції

• Достатньою умовою існування первісної у заданої на відрізку функції f є безперервність f на цьому відрізку

• Необхідними умовами існування є приналежність функції f першого класу Бера і виконання для неї властивості Дарбу

• У заданої на відрізку функції будь-які дві первісні відрізняються на постійну.

24)Невизначений інтеграл, його властивості. Табличні інтеграли. Основні методи інтегрування.

Дія знаходження невизначеного інтеграла називається невизначеним інтегруванням. Невизначене інтегрування є дією, оберненою до диференціювання.

За допомогою диференціювання ми за даною функцією знаходимо її похідну, а за допомогою невизначеного інтегрування ми за даною похідною функції знаходимо первісну функції.

Інтеграл від суми певного скінченого числа функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій.

Сталий множник підінтегральної функції можна винести за знак інтеграла.

Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

Фігура, яка обмежена віссю абсцис,графіком заданої неперервної на проміжку[a;b] функції, що набуває на цьому проміжку лише невід’ємних значень, і вертикальними прямими, що проходять через кінці проміжка, називається криволінійною трапецією. Якщо F(x) –первісна заданої функції, то площа цієї криволінійної трапеції дорівнює приросту первісних функції на заданому проміжку, тобто різниці значень первісної в правому кінці проміжку і лівому кінці проміжку.

Якщо поділити заданий проміжок точками на рівні проміжки, провести через точки поділу вертикальні прямі, то задана криволінійна трапеція розіб’ється на криволінійні трапеції, які будуть мало відрізнятися від прямокутників, коли кількість частин, на які розбито заданий проміжок, прямує до нескінченності.

З теорії площ знаємо, що:

Площа фігури, складеної з декількох фігур, дорівнює сумі площ цих фігур. Площа прямокутника дорівнює добутку його вимірів.

Сума площ прямокутників, на які розіб’ється криволінійна трапеція, називається інтегральною сумою.

27) Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці.

Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіціта ін.

Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння з частинними похідними. Складнішими є інтегро-диференціальні рівняння.

Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їхні швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Диференційне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв'язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.

Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння — це рівняння виду  , де   — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної часу  , штрих означає диференціювання по  . Число   називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язком (або рішенням) диференціального рівняння називається функція, що диференціюється n разів, і задовольняє рівнянню в усіх точках своєї області визначення. Зазвичай існує ціла множина таких функцій, і для вибору однієї з них на розв'язок потрібно накласти додаткові умови: наприклад, вимагати, щоб рішення приймало в певній точці певне значення.

Основні завдання і результати теорії диференціальних рівнянь: існування і єдиність рішення різних задач для ЗДР, методи розв'язання простих ЗДР, якісне дослідження рішень ЗДР без знаходження їхнього явного вигляду.

Задача Коші — одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).

Задача Коші зазвичай виникає при аналізі процесів, обумовлених диференціальним законом і початковим станом, математичним виразом яких і є рівняння та початкова умова (звідси й термінологія та вибір позначень: початкові дані задаються при  , а розв'язок знаходиться при  ).

Від крайових задач задача Коші відрізняється тим, що область, в якій повинен бути визначений шуканий розв'язок, тут заздалегідь не вказується. Проте, задачу Коші можна розглядати як одну з крайових задач.