11) Види рівнянь прямої на площині. Лінія та пряма на площині.

• Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

• Рівняння прямої в відрізках на осях

• Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки на площині

• Параметричне рівняння прямої на площині

• Канонічне рівняння прямої на площині

• Рівняння прямої на площині

• Будь-яку пряму на площині можна задати рівнянням прямої першого ступеня вигляду

• A x + B y + C = 0

• Де A і B не можуть одночасно дорівнювати нулю.

16) Границя функції однієї змінної. Обчислення границь. Теореми про границі.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, по суті, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІ

Границя сталого дорівнює сталому, тобто

, де .

Границя суми дорівнює сумі границь

Границя добутку дорівнює добутку границь.

Сталий множник можна виносити за знак границі.

Границя частки двох послідовностей дорівнює частці границь цих послідовностей, якщо границя знаменника не дорівнює нулю.

Якщо для послідовності  відомо, що для всіх    і , то .

Якщо для послідовностей  та  відомо, що , то

17)Неперервність функції в точці. Точки розриву. Властивості неперервних функцій.

Нехай функція   визначена на проміжку   і точка   є внутрішньою точкою цього проміжку. Функція   називається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в точці  . Нехай функція   визначена в усіх точках деякого проміжку  . Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку —   і x. Назвемо різницю  приростом аргументу, а число   — приростом функції  у точці  . Можна сформулювати таке означення неперервності функції   в точці  : Функція   називається неперервною в точці  , якщо  . Якщо функція   неперервна в кожній точці проміжку  , то вона називається неперервною на цьому проміжку. 

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

+ Теорема 7 (Вейєрштрасса). Якщо функція y = f\x) непе-

рервна на відрізку [а,Ь], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа М та т, що

m<fiyx)<M для усіх хє[а,Ь].

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

+ Теорема 8. Усі основні елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області існування.

+ Теорема 9. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості доданків та множників) та частка функцій, неперервних при

x = x0 (в останньому випадку дільник в цій точці не повинен дорівнювати нулю) є також неперервна функція при x = x0.

+ Теорема 10. Неперервна функція від неперервної функції є також неперервна функція.

+ Теорема 11. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї області існування.

19) Поняття функції багатьох змінних Область визначення. Границя та неперервність функції

Нехай задано множину D упорядкованих пар чисел ( , ) x y . Якщо кожній парі чисел ( , ) x y D∈ за певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині D визначено функцію z від двох змінних x та y , і записують її z f x y = ( , ). Змінну z називають залежною змінною (функцією), а змінні x та y – не залежними змінними (аргументами).

Наведемо такі приклади:

а) площу S прямокутника із сторонами a та b знаходять за формулою S ab = . Кожній парі значень a і b відповідає єдине значення площі, тобто S функція двох змінних: S f a b = ( , );

б) за законом Ома електрорушійна сила E , сила струму I та опір R замкнутого електричного кола пов’язані співвідношенням E = IR . Тут E є функцією змінних I та R : E = f I R ( , ) . Змінна величина u називається функцією n незалежних змінних

Область визначення — множина допустимих значень аргументу функції. Позначається як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Якщо задані: числова множина та правило , що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу з множини певне число, то говорять, що задана функція з областю визначення .