Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через х₁, х₂, х₃, х₄ масу (в кг) м’яса, борошна, молока і цукру відповідно.

Сумарна маса продуктів має не перевищувати 35 кг:

,

а об’єм, який вони мають займати, — не більше 45 дм³:

.

Крім того, мають виконуватися співвідношення стосовно пропорцій за масою продуктів:

а) м’яса принаймні удвічі більше, ніж борошна, отже:

;

б) борошна не менше, ніж молока: ;

в) молока хоча б у вісім разів більше, ніж цукру: .

Калорійність всього набору продуктів можна визначити так:

.

Отже, економіко-математична модель задачі має вигляд:

за умов:

.

Розв’язуючи задачу отримуємо такий оптимальний план: х1=16, х2=8, х3=8, х4=1. Цільова функція дорівнює:

max F = 1500*16+5000*8+5000*8+4000*1 = 108000 (ккал/кг)

Отже, для того, щоб сумарна калорійність продуктів була найбільшою, складала 108000 ккал/кг до рюкзаку треба покласти 16 кг мяса, 8 кг борошна, 8 л молока та 1 кг цукру.

2. Симплексним методом знайти розв’язок задачі лінійного програмування

Розв’язання

Застосуємо алгоритм симплекс-методу:

1. min Z = x₁ +5x₂ + 3x₃ -Мx₄;

2. Векторна форма запису системи обмежень має вигляд:

,

де , , , , .

У цій задачі х₃ та х₄ — базисні змінні, а х₁, х₂ — вільні. Нехай х₁ = х₂ = 0, тоді х₃ = 3; х₄ = 4.

Перший опорний план задачі:

X₀ = (0; 0; 3; 4), Z₀ = 9-4М.

4. Подальше розв’язування прямої задачі подано у вигляді симплексної таблиці:  Z_j – с_j 

_0Сбаз

Базис	Сбаз	План	1	5	3	-М	
			х1	х2	х3	х4
Х4	-М	4	2	1	0	1	2
Х3	3	3	1	2	1	0	3
Zj – сj  0		-4М	-2М	-М	0	0
х1	1	2	1	1/2	0	1/2
х3	3	1	0	1,5	1	1/2
Zj – сj  0		5	0	0	0	2

Оскільки всі , то з останньої симплекс-таблиці оптимальним планом задачі є вектор:

Х^* = (2; 0; 3; 0),

Білет №22

Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні озимої пшениці і має три ділянки землі площею S₁ = 40 га, S₂ = 90 га, S₃ = 55 га. Враховуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу озимою пшеницею трьох сортів. Кількість пшениці сорту «Миронівська-808» забезпечить посів на 80 га, «Безоста-1» – 60 га та «Одеська-51» – 45 га. Урожайність сорту «Миронівська-808» на даних ділянках становить відповідно 41 ц/га, 40 ц/га, 46 ц/га. Аналогічно для сорту «Безоста-1» маємо: 38 ц/га, 41 ц/га, 45 ц/га, а для «Одеської-51» – 30 ц/га, 28 ц/га, 40 ц/га. Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний урожай (валовий збір) озимої пшениці. Побудувати економіко-математичну модель задачі.