1. Властивості первісної

• Первісна суми дорівнює сумі первісних

• Первісна твори константи та функції дорівнює добутку константи і первісної функції

• Достатньою умовою існування первісної у заданої на відрізку функції f є безперервність f на цьому відрізку

• Необхідними умовами існування є приналежність функції f першого класу Бера і виконання для неї властивості Дарбу

• У заданої на відрізку функції будь-які дві первісні відрізняються на постійну.

24) Дія знаходження невизначеного інтеграла називається невизначеним інтегруванням. Невизначене інтегрування є дією, оберненою до диференціювання.

За допомогою диференціювання ми за даною функцією знаходимо її похідну, а за допомогою невизначеного інтегрування ми за даною похідною функції знаходимо первісну функції.

Інтеграл від суми певного скінченого числа функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій.

Сталий множник підінтегральної функції можна винести за знак інтеграла.

Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

Фігура, яка обмежена віссю абсцис,графіком заданої неперервної на проміжку[a;b] функції, що набуває на цьому проміжку лише невід’ємних значень, і вертикальними прямими, що проходять через кінці проміжка, називається криволінійною трапецією. Якщо F(x) –первісна заданої функції, то площа цієї криволінійної трапеції дорівнює приросту первісних функції на заданому проміжку, тобто різниці значень первісної в правому кінці проміжку і лівому кінці проміжку.

Якщо поділити заданий проміжок точками на рівні проміжки, провести через точки поділу вертикальні прямі, то задана криволінійна трапеція розіб’ється на криволінійні трапеції, які будуть мало відрізнятися від прямокутників, коли кількість частин, на які розбито заданий проміжок, прямує до нескінченності.

З теорії площ знаємо, що:

Площа фігури, складеної з декількох фігур, дорівнює сумі площ цих фігур. Площа прямокутника дорівнює добутку його вимірів.

Сума площ прямокутників, на які розіб’ється криволінійна трапеція, називається інтегральною сумою.

25) Визначеним інтегралом заданої функції від а до b називається число, до якого прямує інтегральна сума, коли кількість частин, на які розбито заданий проміжок, прямує до нескінченності.

Записується «інтеграл від А до Бе еф від ікс де ікс», де а – нижня границя інтегрування, b – верхня границя інтегрування, F(x) – підінтегральна функція, ікс – змінна інтегрування.

Якщо задана функція неперервна і невід’ємна на деякому проміжку, то інтеграл з границями інтегрування, що є кінцями цього проміжку, чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Інтеграл з границями інтегрування, що є кінцями деякого проміжку, від заданої функції чисельно дорівнює різниці первісних цієї функції у верхній і нижній границях інтегрування.

26)ПОНЯТТЯ ПРО ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ

Розглянемо тепер ряди, частина членів яких додатня, а частина членів від‘ємна чи рівна нулю. Такі ряди називають знакозмінними. При цьому інтерес представляють лише ті ряди, серед членів яких є нескінченна кількість як додатніх, так і від‘ємних. Дійсно, припустимо, що один із знаків, наприклад, мінус, зустрічається лише у скінченній кількості членів. Якщо   є найбільший номер від'ємних членів ряду  , то його залишок   вже є додатнім рядом. В той же час збіжність ряду рівносильна збіжності його залишку.

Є ряди, в яких знаки членів чергуються через один. Їх будемо називати знакопочережними.

Знакопочережний ряд, в якого перший член додатній, можна записати у вигляді:

Ознака Лейбніца . Якщо в знакопочережному ряді (1) абсолютні величини членів ряду спадають:  і загальний член прямує до нуля,  , то ряд збігається.

Відмітимо наступну властивість знакопочережного ряду, що задовільняє умовам ознаки Лейбніца і яка має велике практичне застосування.

Нехай ряд (1) збігається і його сума рівна  , тоді

Різниця   - залишок ряду, в свою чергу, являється сумою знакопочережного ряду, отже, задовільняє умові   Таким чином, замінюючи суму ряду його частинною сумою, отримуємо похибку, абсолютна величина якої менша абсолютної величини першого відкинутого члена ряду.