13. Вычисление кри-II: явное представление кривой, параметрическое представление кривой. Некоторые приложения кри-II.

2.5. Вычисления криволинейного интеграла II рода

Вычисление КРИ-II, как и КРИ-I, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Явное представление кривой

Если кривая лежит в плоскости и задана уравнением , производная непрерывна на , , то

. (2.7)

Параметрическое представление кривой

Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями , , где  непрерывно дифференцируемые функции, и  соответственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисления КРИ-II:

. (2.8)

Если кривая лежит в плоскости , , то формула (2.8) упрощается

. (2.9)

Пример 2.4. Вычислить , если линия  дуга параболы , расположенная между точками и .

Решение. Так как в данном случае , а , то, согласно формуле (2.7), получаем

.

,

Пример 2.5. Вычислить , если  ломаная , где , и .

Решение. Так как , то

.

1) : . Тогда

.

2) : . Тогда

.

3) Следовательно, исходный интеграл .

,

2.6. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле

,

при этом кривая , делает обход против часовой стрелки.

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле

.

Пример 2.6. Найти работу силы вдоль кривой от точки до точки .

Решение. По формуле работы переменной силы находим

.

,

14. Формула Остроградского – Грина.

Связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по границе этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости задана правильная, односвязная область . Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит (область без «дыр»).

Теорема 2.1. Если функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной области , лежащей в плоскости и ограниченной кусочно-гладкой кривой , то

, (2.10)

где интегрирование по контуру выполняется в положительном направлении.

Формулу (2.10) называется формулой Остроградского – Грина.

Теорему 2.1. примем без доказательства.

Если в некоторой области выполняются условия теоремы 2.1. и , то справедливы следующие утверждения:

1. Если  любой замкнутый контур, расположенный в области , то

.

2. Интеграл не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки и , где .

3. , где  полный дифференциал функции .

Пример 2.7. Вычислить интеграл:

,

где  контур треугольника с вершинами .

Решение. В плоскости изобразим контур интегрирования.

.

2) , . Тогда

.

3) , . Тогда

.

Далее находим .

II способ

Воспользуемся формулой 2.10.

, .

Тогда

.

Далее находим

.

,

Пример 2.8. Вычислить интеграл:

,

где  контур прямоугольника с вершинами .

Решение. В плоскости изобразим контур интегрирования.

.