11. Некоторые приложения кри-I рода в геометрии и физике.

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина кривой , плоской или пространственной линии, вычисляется по следующей формуле

.

Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельная оси (см. рисунок), то площадь поверхности, заданной функцией , находится по формуле:

Масса кривой

Если  плотность материальной кривой (провод, цепь, трос, …), то ее масса вычисляется по формуле:

.

Координаты центра масс

Координаты центра масс материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:

; ; .

Моменты инерции

Моменты инерции относительно начала координат , осей координат и , и координатных плоскостей и материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:

;

, , ;

, , .

Пример 2.3. Вычислить массу и координаты центра масс плоской материальной дуги , плотность которой .

Решение. Согласно формуле (2.3) и формуле массы кривой, для случая плоской дуги имеем:

.

Согласно формулам координат центра масс, получаем:

.

.

12. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.

3. Криволинейный интеграл II рода (кри-II)

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Криволинейный интеграл II рода определяется так же, как и интеграл I.

Пусть в пространстве ( ) задан вектор

,

координаты которого – непрерывные функции в точках ориентированной кривой .

Кривую разобьем в направлении от к на элементарных дуг и построим векторы , где  проекции векторов на оси координат.

Начала этих векторов совпадают с началом элементарных дуг , а концы – с их концами. На каждой элементарной части выберем произвольную точку и составим интегральную сумму

.

Предел интегральной суммы, найденный при условии, что , и не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора произвольной точки , называется криволинейным интегралом второго рода (КРИ-II) или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции по кривой . Обозначается:

.

(2.6)

Если функции  непрерывны в точках гладкой кривой , то предел интегральной суммы существует, т.е. существует криволинейный интеграл второго рода.

Основные свойства кри-II

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

.

2. Если кривая точкой разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т.е.

.

Если кривая интегрирования замкнута, криволинейный интеграл II рода обозначается . В этом случае через кривую проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная кривой , находится слева, если двигаться вдоль по выбранной стороне указанной поверхности, т.е. за положительный обход контура принимается обход против хода часовой стрелки.

Если плоскую область , ограниченную кривой , разбить на части, не имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми и , то

,

где направления обхода по контурам , и  всюду либо положительные, либо отрицательные.