8. Некоторые приложения тройного интеграла в геометрии и физике

6. Некоторые приложения тройного интеграла

Объем тела

V= -в декартовой

V= ρdρ d𝜑dz -в цилиндрической

V= ρ²sinθdρd𝜑dθ –в сферической

Масса тела при заданной объёмной плотности μ(x,y,z)

m= μ(x,y,z)dxdydz

Статистические моменты

M_xy, M_xz, M_yz –относительно координатных плоскостей

M_xy= zμ(xyz)dxdydz M_xz= yμ(xyz)dxdydz M_yz= xμ(xyz)dxdydz

Координаты центра масс

Моменты инерции тела

9. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.

п. 2. Криволинейные интегралы

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криволинейный интеграл.

2.1. Криволинейный интеграл I рода (КРИ-I)

Пусть в пространстве ( ) задана гладкая дуга кривой , во всех точках которой определена непрерывная функция .

Если при , когда , существует конечный предел интегральной суммы , то его называют криволинейным интегралом первого рода (КРИ-I) или криволинейным интегралом по длине дуги от функции , и обозначается .

Таким образом, по определению

. (2.1)

Если кривая лежит в плоскости и вдоль этой кривой задана непрерывная функция , то

. (2.2)

Надо отметить, если функция непрерывная в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл I рода существует, и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Основные свойства кри-I

1. , т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2. , где .

3. .

4. , если путь интегрирования разбить на части и такие, что , и имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой выполняется неравенство , то

.

6. Если , то , где  длина кривой (геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода).

7. (Теорема о среднем) Если функция непрерывная на кривой , то на этой кривой найдется точка , что .

10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.

2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода

Вычисление КРИ-I может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства формулы вычисления КРИ-I в случаях, если кривая задана явным образом, параметрически и в полярных координатах.

Явное представление кривой

Если плоская кривая задана непрерывной и непрерывно дифференцируемой на функцией , где и  соответственно абсциссы точек и , то

. (2.3)

Параметрическое представление кривой

Если кривая задана параметрически уравнениями , где и  непрерывно дифференцируемые функции параметра , причем точке соответствует значение , а точке  значение , то

. (2.4)

В случае если гладкая кривая задана в пространстве параметрическими уравнениями , то

.

Полярное представление кривой

Если плоская кривая задана уравнением , причем функция и ее производная непрерывны, то имеет место следующая формула

. (2.5)

Пример 2.1. Вычислить интеграл , где  отрезок прямой, заключенный между точками и .

Решение. Составляем уравнение по двум точкам. Получаем .

Находим

.

Следовательно,

.

Пример 2.2. Вычислить интеграл , где  лепесток лемнискаты расположенный в первом координатном углу.

Решение. Находим .

.