Основные свойства тройного интеграла

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл.

1. Если в области f(xyz) =_, То , где v- объём области V

2. В случае, когда подынтегральная функция f(xyz) задаёт плотность δ(x,y,z) тела, занимающего область V, тройной интеграл выражает массу этого тела:

m= δ(x,y,z)dV

Вычисление тройного интегралав декартовых координатах

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла водится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.

Для правильной области справедливы следующие неравенства:

, , .

Тогда тройной интеграл в декартовых координатах вычисляется по следующей формуле:

. (1.8)

Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае простейшей правильной области вначале интегрируют функцию по одной из переменных (например, ) при условии, что оставшиеся две переменные принимают любые постоянные значения в области интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной (например, ) при любом постоянном значении третьей переменной в и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (например, ) в максимальном диапазоне ее изменения в . Надо отметить, что порядок интегрирования в формуле (1.8), при определенных условиях, может быть другим.

Если область более сложная, чем рассматриваемая, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (1.8).

Пример 1.6. Вычислить тройной интеграл

,

где область ограничена поверхностями: .

Решение. По заданным поверхностям строим область интегрирования:  плоскости,  эллиптический параболоид.

Тогда

.

,

7 Замена переменной в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.

Замена:

При вычислении тройного интеграла, как и для двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершается подстановка , и . Если эти функции имеют в некоторой области пространства непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

,

то справедлива формула замены переменной в тройном интеграле:

(1.9)

Здесь  определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства)

Вычисление тройного интеграла

в цилиндрических координатах

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями: , , , где .

Возьмем в качестве цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

.

Формула замены переменных (1.9) принимает вид:

. (1.10)

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по , по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Вычисление тройного интегралав сферических координатах

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам.

Сферическими координатами точки пространства называется тройка чисел , где  длина радиус-вектора проекции точки ,  угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость и осью ,  угол отклонения радиус-вектора от оси (см. рис.).

Возьмем в качестве цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

.

Формула замены переменных (1.9) принимает вид:

. (1.11)