Площадь плоской фигуры

Согласно свойству 6 двойного интеграла, если , то цилиндрическое тело «превращается» в прямой цилиндр с высотой, равной 1. Объем такого цилиндра численно равен площади основания , т.е. площади области интегрирования . Тогда для вычисления площади плоской фигуры получаем формулы:

1. для вычисления в декартовой системе координат: ;

2. для вычисления в полярной системе координат: .

Пример 1.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и .

Решение. Построим в декартовой системе координат фигуру .

, а прямая  .

Согласно формуле (1.6) имеем

.

,

Пример 1.4. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного данными поверхностями: .

Решение. Данное тело сверху ограничено поверхностью  параболическим цилиндром, снизу плоскостью , с боков плоскостями и . Чтобы найти объем тела, изобразим область в плоскости .

,

Масса плоской фигуры

Согласно физическому смыслу двойного интеграла, масса плоской пластины находится по формуле:

,

где  плотность этой пластины.

Статистические моменты плоской фигуры

Статистические моменты плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

;

.

Координаты центра масс

Координаты плоской фигуры вычисляются по следующим формулам:

;

.

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки до оси, т.е. .

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

;

.

Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат вычисляется по следующей формуле:

.

Пример 1.5. Дана неоднородная пластина , ограниченная линиями , , с поверхностной плотностью . Вычислить:

1) массу плоской пластины;

2) статистические моменты и пластины относительно осей координат;

3) координаты центра масс пластины;

4) моменты инерции относительно начало координат и осей координат .

6 Тройной интеграл

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Рассмотрим в пространстве замкнутую область . Пусть в области задана непрерывная функция .

Схема получения тройного интеграла

1) Разбиваем область на «элементарных областей» .

2) Объем «элементарной области» обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .

3) Возьмем произвольную точку .

4) Находим .

5) Составляем интегральную сумму

.

6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что .

.

Предел интегральной суммы, когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю, называется тройным интегралом от на замкнутой областью .

Таким образом, тройным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:

. (1.7)

 интегрируемая функция в области ;

 область интегрирования;

, и  переменные интегрирования;

или  элемент объема.