Уравнение теплопроводности.
Уравнение теплопроводности
Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии:
.
(9.5)
Выведем уравнение распространения
тепла. Обозначим через
температуру среды в точке
в момент времени
.
Считая среду изотропной, обозначим
через
и
соответственно ее плотность, удельную
теплоемкость и коэффициент теплопроводности
в точке
.
Обозначим через
интенсивность источников тепла в точке
в момент времени
.
Подсчитаем баланс тепла в произвольном
объеме
за промежуток времени
.
Обозначим через
границу
,
и пусть
– внешняя нормаль к ней. Согласно закону
Фурье через поверхность
в объем
поступает количества тепла
,
причем
,
где
направляющие
косинусы вектора
.
В силу формулы Гаусса – Остроградского
.
За счет тепловых источников в объеме возникает количество тепла
.
Так как температура в объеме за промежуток времени выросла на величину
,
то для этого необходимо затратить количества тепла
.
С другой стороны,
или
.
Тогда имеем
.
В силу произвольности объема , получаем уравнение распространения тепла:
.
(9.6)
Если среда однородна, т.е.
и
– постоянные, то уравнение (9.6) принимает
вид
,
(9.7)
где
.
Уравнение (9.7) называется уравнением
теплопроводности. Число пространственных
переменных
в этом уравнении может быть любым.
Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры в среде (начальное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие).
Для тела граничные условия определяются на его поверхности и задаются одним из следующих способов:
,
где
– известная функция точек поверхности
и времени
;
,
где
– нормаль к поверхности
,
– заданная функция точек поверхности
и времени
;
при теплообмене с окружающей средой граничные условия в общем случае имеют вид
,
где
и
– постоянные,
– заданная функция.
Начальное условие для уравнения теплопроводности определяет температура тела в момент времени и имеет вид
где
– заданная функция точек тела
.