36. Некоторые приложения степенных рядов.
Некоторые приложения степенных рядов
Вычисление значений функции
Пусть дан степенной ряд функции
.
Задача вычисления значения этой функции
заключается в отыскании суммы ряда при
заданном значении аргумента. Ограничиваясь
определенным числом членов ряда, находим
значение функции с точностью, которую
можно устанавливать путем оценивания
остатка числового ряда либо остаточного
члена
формул Тейлора или Маклорена.
2. Вычисление интегралов
Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри интервалов сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.
Пример 7.11. Вычислить
с точностью
.
Решение. Воспользуемся формулой
разложения функции
в степенной ряд, заменив
на
.
Получаем ряд
.
Полученный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,
,
Поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше .
3. Приближенное решение дифференциальных уравнений
Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения можно воспользоваться рядом Тейлора.
Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Способ последовательного дифференцирования
При решении задачи Коши
,
используется ряд Тейлора
,
где
,
а остальные производные
находятся путем последовательного
дифференцирования уравнения
и подстановки начальных данных в
выражения для этих производных.
Надо отметить, что способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.
Пример 7.12. Найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
,
если
.
Решение. Находим решение дифференциального уравнения (при ) в виде
.
.
.
Далее находим производные высших порядков и значения производных при .
.
Тогда
.
.
Тогда
.
.
Тогда
.
Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получаем:
.
Способ неопределенных коэффициентов
Этот способ приближенного решения наиболее удобен для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Пусть, например, требуется решить уравнение
с
начальными условиями
.
Предполагая, что коэффициенты
и свободный член
разлагаются в ряды по степеням
,
сходящиеся в некотором интервале
,
искомое решение
находится в виде степенного ряда
с неопределенными коэффициентами.
При помощи начальных условий находим
коэффициенты
и
.
Для нахождения последующих коэффициентов
степенной ряд дифференцируем два раза
(каков порядок уравнения) и подставляем
выражения для функции
и ее производных в исходное уравнение,
заменив в нем
,
их разложениями. В результате получаем
тождество, из которого методом
неопределенных коэффициентов находим
недостающие коэффициенты.
Построенный степенной ряд сходится в том же интервале и является решением исходного уравнения.
Пример 7.13. Найти решение уравнения
.
используя метод неопределенных коэффициентов.
Решение. Разложим коэффициенты уравнения и при в степенные ряды
,
.
Решение исходного дифференциального уравнения находим в виде степенного ряда
.
Тогда
,
.
Из начальных условий находим:
.
Подставляем полученные ряды в
дифференциальное уравнение:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :
,
,
,
,
,
……………………………
Отсюда находим, что
,
,
,
,
… . Таким образом, получаем решение
уравнения в виде
,
т.е.
.