Признак Даламбера
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717 – 1783, французский математик) позволяет часто решать вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самими рядами.
Теорема 5.5 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (5.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел
.
Тогда:
при
ряд сходится;при
ряд расходится.
При
признак Даламбера не дает ответа на
вопрос о сходимости или расходимости
ряда. В этом случае сходимость ряда
исследуется с помощью других признаков.
Признак Даламбера целесообразно
применять, когда общий член ряда содержит
выражения вида
или
.
Пример 5.8. Исследовать на сходимость
ряд
.
Решение. Применим признак Даламбера:
,
.
Находим
.
Так как
,
то данный ряд по признаку Даламбера
сходится.
Пример 5.9. Исследовать на сходимость
ряд
.
Решение. Применим признак Даламбера:
,
.
Находим
.
Так как
,
то данный ряд по признаку Даламбера
расходится.
30. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле.
Радикальный признак Коши
Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости числового ряда с положительными членами. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.
Теорема 5.6 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд (5.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел
.
Тогда:
при ряд сходится;
при ряд расходится.
При радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.
Пример 5.10. Исследовать на сходимость
ряд
.
Решение. Так как
,
то
применим радикальный признак Коши к
ряду
.
.
Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов.
Интегральный признак Коши
Теорема 5.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд
,
члены
которого являются значениями непрерывной
положительной функции
при целых значениях аргумента
:
,
и
пусть
монотонно убывает на промежутке
.
Тогда ряд сходится, если сходится
несобственный интеграл
,
и расходится, если несобственный интеграл
расходится.
Надо отметить, что вместо интеграла
можно брать интеграл
,
где
.
Отбрасывание
первых членов ряда, как известно, не
влияет на сходимость (расходимость)
ряда.
Пример 5.11. Исследовать на сходимость ряд
,
(5.10)
где
действительное
число, ряд называется обобщенным
гармоническим рядом или рядом
Дирихле.
Решение. Рассмотрим функцию
,
которая непрерывна и монотонно убывает
на промежутке
,
при
и
.
Воспользуемся интегральным признаком
Коши и исследуем на сходимость
несобственный интеграл
.
При
имеем
.
При
получаем гармонический ряд
,
который расходится.
Таким образом, при
ряд Дирихле расходится, а при
ряд Дирихле сходится.
Пример 5.12. Исследовать на сходимость
ряд
.
Решение. Воспользуемся интегральным
признаком Коши. Рассмотрим функцию
,
которая непрерывна и монотонно убывает
на промежутке
.
Находим
.
Поскольку несобственный интеграл расходится, то и исходный ряд расходится.
Пример 5.13. Исследовать на сходимость
ряд
.
Решение. Воспользуемся интегральным
признаком Коши. Рассмотрим функцию
,
которая непрерывна и монотонно убывает
на промежутке
.
Находим
.
Поскольку несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится.