28. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.

5.2. Необходимый признак сходимости ряда

Нахождение -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема 5.1. (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд (5.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е .

Доказательство. Пусть ряд (5.1) сходится и . Тогда (при и ). Учитывая, что при , получаем:

. 

Теорема 5.2. (достаточный признак расходимости ряда) Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Теорему 5.2. примем без доказательства.

Пример 5.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный ряд расходится, так как

,

т.е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.



Пример 5.4. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Данный ряд расходится, так как

, 

Теорема 5.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

Например, гармонический ряд

(5.7)

общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.

5.3. Достаточные признаки сходимости ряда

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

29. Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера Признаки сравнения рядов.

Сходимость или расходимость числовых рядов с положительными членами часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы, которые примем без доказательства.

Теорема 5.3. Пусть даны два ряда с положительными членами:

(5.8)

и

(5.9)

Если для всех выполняется неравенство , то

1. из сходимости ряда (5.9) следует сходимость ряда (5.8);

2. из расходимости ряда (5.8) следует расходимость ряда (5.9).

Надо отметить, что теорема 5.3 справедлива и в том случае, когда неравенство выполняется не для всех членов рядов (5.8) и (5.9), а начиная с некоторого номера . Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.

Теорема 5.4 (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда (5.8) и (5.9) с положительными членами. Если существует конечный, отличный от нуля, предел

где , то ряды (5.8) и (5.9) сходятся или расходятся одновременно.

Пример 5.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится, так как . Имеем . Следовательно, данный ряд сходится.



Пример 5.6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь . Возьмем для сравнения гармонический ряд , который расходится. Имеем . Следовательно, данный ряд расходится.



Пример 5.7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим предельный признак сравнения, используя гармонический ряд . Так как , то данный ряд расходится.

