23. Ротор поля. Некоторые свойства ротора. Формула Стокса.

4.6. Ротор поля. Формула Стокса

Определение 4.11. Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, который обозначается и определяется формулой

. (4.13)

Формулу (4.13) можно записать с помощью символического определителя, который удобный для запоминания:

.

Отметим некоторые свойства ротора:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. ротор суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

Используя понятие ротора и циркуляции векторного поля, запишем известную в математическом анализе формулу Стокса:

.

(4.14)

Эту же формулу Стокса можно записать и векторной форме:

. (4.15)

Формула (4.15) означает следующее: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , краем которой является контур . Направление обхода по контуру и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.

Как видно из определения, ротор вектора есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Число

называется плотностью циркуляции векторного поля в точке в направлении вектора . Плотность циркуляции достигает максимума в направлении и равна .

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению.

Пример 4.8. Найти скалярного поля .

Решение. Находим градиент скалярного поля . Частные производные первого порядка соответственно равны:

; ; .

Находим ротор градиента скалярного поля, используя символическую запись формулы (4.13):

.



24. Векторные дифференциальные операции первого порядка.

7. Векторные дифференциальные операции первого и второго порядка

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем и векторным полем являются: градиент, дивергенция, ротор. Эти действия называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только производные первого порядка).

Векторные операции – нахождение градиента, дивергенции, ротора, удобно описывать с помощью дифференциального оператора, который обозначается символом (читается «набла») и называется оператором Гамильтона:

.

Он приобретает смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины , , , понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Выразим основные дифференциальные операции с помощью оператора Гамильтона:

1. .

2. .

3. .

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действии с ними надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применит этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Можно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: , , , , . Понятно, что, например, операция не имеет смысла, так как  есть скаляр.

Дифференциальный оператор

также называется оператором Гамильтона.

Запишем основные дифференциальные операции второго порядка, используя оператор Гамильтона:

1. .

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение

,

которое называется дифференциальным уравнением Лапласа. Это уравнение играет важную роль в различных разделах математической физике. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

2. , так как векторное произведение двух одинаковых векторных полей равно нулевому вектору. Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

3. .

4. , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковых, равно нулю.

5. .