21.Дивергенция поля. Некоторые свойства дивергенции. Физический смысл дивергенции.

Важной характеристикой векторного поля является дивергенция, которая характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Определение 4.9. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке , обозначаемой символом , называется величина, равная сумме частных производных, вычисленных в точке т.е.

. (4.9)

Отметим некоторые свойства дивергенции:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

Сравнивая формулы (4.8) и (4.9) видим, что формулу Остроградского – Гаусса можно записать иначе:

. (4.10)

Формула (4.10) означает: поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному данной поверхностью.

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла стационарного потока (обычно считают, что есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при точка представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при точка представляет собой сток, поглощающий жидкость. В этом состоит физический смысл дивергенции. Если в объеме , ограниченном замкнутой поверхностью нет ни источников, ни стоков, то .

Пример 4.6. Вычислить дивергенцию векторного поля

в точке .

Решение. Согласно формуле (4.9) получаем

.

В точке имеем , т.е. точка является источником поля.



22. Циркуляция поля. Физический смысл циркуляции поля.

4.5. Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором

.

Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую и выберем на ней определенное направление. Обозначим через вектор, имеющий направление касательной к линии и по модулю равный дифференциалу длины дуги, т.е.

,

а .

Определение 4.10. Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора

на вектор , касательной к контуру, т.е.

. (4.11)

Циркуляцию вектора можно находить по другой формуле

. (4.12)

Циркуляция , имеет простой физический смысл: если кривая расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль .Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный – в противном случае.

Пример 4.7. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами , , .

Р

ешение. Согласно формуле (4.12), имеем:

.

На отрезке . Следовательно,

.

На отрезке . →

На отрезке . →

.

Тогда .