Градиент
В каждой точке области
,
в которой задана скалярная функция
,
определим вектор, проекциями которого
на оси координат являются значения
частных производных
в выбранной точке
.
Назовем этот вектор градиентом
функции
и обозначим его символами
или
(набла-оператор, записываемый в виде
«вектора» с компонентами
).
Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.
.
(4.3)
Подчеркнем, что проекции градиента
зависят от выбора точки
и изменяются с изменением координат
этой точки. Таким образом, каждой точке
скалярного поля, определяемого функцией
,
соответствует определенный вектор –
градиент этой функции. Отметим, что
градиент линейной функции
есть постоянный вектор
.
Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.
,
где
угол между
и направлением
.Свойства
:1) Производная в данной точке по
направлению вектора
имеет наибольшее значение, если
направление вектора
совпадает с направлением градиента,
когда
,
т.е. при
;
это наибольшее значение производной
равно
.
Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. наибольшая скорость изменения функции в точке .
2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.
4)
.
5)
,
где
.
6)
и др.
Пример 4.2. Дана функция
.
Найти:
1)
производную в точке
по направлению к точке
;
2) наибольшую скорость возрастания функции в точке .
Решение. 1) Находим координаты и
направляющие косинусы вектора
:
;
.
Находим частные производные и значения частных производных в точке :
;
;
.
Тогда по формуле (4.1) получаем:
.
Так как
,
то в данном направлении функция убывает.
2) Используя формулу (4.3) запишем градиент функции в точке :
.
Находим наибольшую скорость возрастания функции в точке :
.
19.Векторное поле. Векторные (силовые) линии. Векторная трубка.
Определение 4.5. Если каждой точке области соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле или векторная функция точки.
Вектор
,
определяющий векторное поле, можно
рассматривать как векторную функцию
трех скалярных аргументов
,
т.е.
.
Вектор можно представить, разложив его по ортам координатных осей, в виде:
,
где
проекции вектора
на оси координат, а также скалярные
функции, которые непрерывны со своими
частными производными.
Простейшими геометрическими характеристиками векторного поля являются векторные линии.
Определение 4.6. Векторной (силовой) линией поля называется линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора
Определение 4.7. Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинается с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля
описываются системой дифференциальных уравнений
.
(4.4)
Пример 4.3. Найти векторную линию
векторного поля
,
проходящую через точку
.
Решение. Согласно формуле (4.4) получаем систему дифференциальных уравнений
.
Решаем первое уравнение:
.
или,
в параметрическом виде:
.
Решаем второе уравнение:
.
Так как векторная линия должна проходить
через точку
,
то легко находим, что постоянные
интегрирования
.
Уравнения векторной линии данного
векторного поля имеют вид:
,
это винтовая линия.
Векторное
поле, порожденное градиентом скалярного
поля
(или
),
называется полем градиента.
Векторные линии
(или
)
это кривые, вдоль
которых функция
(или
)
максимально возрастает (убывает). Эти
линии всегда ортогональны к поверхностям
(или линиям) уровня скалярного поля
(или
).
Дифференциальные уравнения для определения векторных линий имеют вид:
.