Механический смысл производной

Определение: Пусть задан закон движения материальной точки вдоль оси относительно времени , то есть – расстояние, пройденное точкой за время . Тогда – расстояние, на которое перемещается точка за время . Величина называется средней скоростью точки.

Определение: При , при этом величина называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени :

.

_{По определению производной:}

.

Иными словами, мгновенная скорость движения материальной точки – это производная закона движения координаты по времени.

Аналогичным образом определяется, что ускорение – это производная скорости по времени:

.

Задача 5.2. Закон движения материальной точки . Найти ее ускорение в момент времени c.

Решение: Так как , а , то очевидно, что . Таким образом, надо найти производную второго порядка от функции .

.

Подставив , получим:

м/c².

Исследование функций и построение графиков

При построении графика данной функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

1. Найти область определения функции;

2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

3. Найти участки непрерывности функции, а также точки разрыва с указанием вида разрыва;

4. Найти точки пересечения графика с осями координат;

5. Найти интервалы знакопостоянства функции;

6. Найти асимптоты;

7. Найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Четность и нечетность функции

Определение: Функция называется четной, если выполняется условие .

Определение: Функция называется нечетной, если выполняется условие .

Условия монотонности функции

Теорема 7. Если функция дифференцируема на интервале и для любого из интервала выполнено неравенство , то функция возрастает (соответственно, убывает) на этом интервале.

Теорема 8. Если функция дифференцируема на интервале и для любого из интервала выполнено неравенство , то функция не убывает (соответственно, не возрастает) на этом интервале.

Экстремумы функции

Определение: Точка называется точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность этой точки, что

,

(соответственно, , ).

Определение: Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Теорема 9 (необходимое условие экстремума). Если – точка локального экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Определение: Точки области определения непрерывной функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

Теорема 10 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, может быть, самой точки ). Тогда, если меняет знак при переходе через точку , то – точка локального экстремума. Если функция меняет знак с «+» на «–», то точка – локальный максимум, если же с «–» на «+», то точка – локальный минимум.

Теорема 11 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в точке производные первого и второго порядков. Тогда, если , , то точка – точка локального экстремума. Если , , то точка – точка локального максимума, а если , , то точка – точка локального минимума.