Производная параметрически заданной функции

Теорема 2. Пусть функция определена параметрически заданными функциями и . Тогда если функции и имеют производные в точке , причем , а функция имеет производную в точке , то эта производная находится по формуле:

.

При этом производная -го порядка находится по формуле:

.

Задача 2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически .

Решение: Найдем производную первого порядка . Для этого найдем производные и :

,

.

По теореме 2:

.

Найдем производную второго порядка . Для этого надо найти производную :

.

Так как производная уже известна, то по теореме 2 производная второго порядка имеет вид:

.

Производная показательно-степенной функции

При нахождении производных от показательно-степенных функций применяется логарифмическая производная.

Определение: Логарифмической производной от функции называется производная логарифма этой функции:

.

Теорема 3. Если функции и имеют производные в точке , то производная функции находится по формуле:

.

Задача 3. Найти производную функции .

Решение: Примем за и . Найдем их производные:

,

.

По теореме 3:

.

Вычисление приближенного значения функции с помощью дифференциала

Определение: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если существует такое число , что приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента, представимо в виде:

,

где , то функция называется дифференцируемой в точке . При этом главная, линейная относительно , часть этого приращения, то есть , называется дифференциалом функции в точке .

Обозначение: или .

Теорема 4. Если приращение аргумента близко к нулю, то приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. , и выполняется приближенное равенство:

.

Задача 4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .

Решение: Воспользуемся приближенной формулой из теоремы 4. Тогда, подставляя , получим:

.

Полагая и , найдем:

.

Таким образом, получим, что значение функции в точке приближенно равно .

Геометрический и механический смыслы производной Геометрический смысл производной

Теорема 5. Пусть функция имеет производную в точке . Тогда существует касательная к графику этой функции в точке , уравнение которой имеет вид:

.

При этом , где – угол наклона касательной к оси (рис. 1).

Рис. 1

Определение: Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение:

.

Определение: Пусть кривые и пересекаются в точке , причем обе функции имеют производные в точке . Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке .

Теорема 6. Угол между двумя кривыми и , пересекающимися в точке и дифференцируемыми в точке , вычисляется по формуле:

.

Задача 5.1. Найти точки, в которых касательная к графику гиперболы параллельна прямой .

Решение: Угловой коэффициент касательной к графику функции равен . Производная функции . То есть .

Из условия параллельности прямых известно, что их угловые коэффициенты равны, то есть . Откуда , следовательно .

Подставив полученные значения в уравнение гиперболы, найдем значения: .

Таким образом, точки, в которых касательная к графику гиперболы параллельна прямой , имеют координаты и .