3. Число состояний частицы в определённом интервале энергий. Распределение по энергиям

Число частиц с энергиями в интервале  пропорционально : . Наша задача найти функцию распределения по энергиям .

 

 

Е сли мы найдём функцию g(E), тогда автоматически мы найдём и f(E),  – число состояний, приходящихся на интервал энергий . Это можно условно так изобразить: на шкале энергий отдельные значения энергии (энергия меняется дискретно), число палочек в интервале энергий  это как раз будет число состояний . Проблема теперь упирается в нахождение этой функции g(E).

 

 

Мы рассматривали частицу в ящике, и там были найдены возможные состояния, напомню, что любая тройка целых чисел  задаёт состояние с волновой функцией . Перебирая все тройки чисел, мы получим все возможные состояния. А теперь у нас задача такая: задать интервал энергии и перебрать все возможные состояния, энергия которых попадёт в этот интервал. Задача на первый взгляд страшно трудная, на самом деле решаемая и довольно элементарно. Можно было бы отталкиваться от решения для ящика, но применяется другой трюк более удобный.

Будем считать, что волновая функция частицы не такая, как там было найдено для частицы в ящике, а волновая функция имеет вид  с граничными условиями:1)

 

 

Это означает, что

 

Ну, и

   - целые числа

 

Если б мы рассматривали свободную частицу в пространстве, любой вектор  был бы допустим, когда мы рассматриваем частицу в ящике, то не любые векторы  задают состояния, а каждая компонента вектора   должна быть кратной величине .

В екторы  могут быть такими, как на рис.3.3, они дискретны, проекции вектора  должны быть кратны числу . Мы имеем дискретный набор точек и теперь мы их можем считать. Мы видим, что на одно состояние в этом пространстве волновых чисел или k-пространстве приходится ячейка с объёмом .

 

А теперь мы можем ответить на вопрос о том, сколько состояний приходится на заданный интервал энергии. Для частицы с массой m . В k-пространстве энергии E отвечает сфера радиуса , и тогда все точки k-пространства, которые находятся внутри этой сферы, отвечают состояниям, энергия которых меньше E. Тогда число состояний с энергией в интервале [0, E] это будет объём сферы, делённый на объём, приходящийся на одно состояние.

Число состояний N_E с энергиями в интервале [0, E], будет равняться

 

,   где V = L³

 

А тогда число состояний в интервале  мы получим просто дифференцированием:

 

 

Тогда число частиц, для которых , равно

 

 

Это не то, что нас интересует. Это не распределение по энергиям – это распределение по волновым числам. А теперь мы вернёмся к распределению по энергиям.

 

Фермионы с массой m.

, нам теперь надо просто перейти от k к E.

  .

 

 

На самом деле, мы это учли движение частицы в целом, частица может иметь ещё внутренние состояния, связанные с её спином, тогда эта формула подправится, и мы напишем так:

 

 

Этот множитель 2(j+1) – это число проекций спина на выбранную ось. Для электронов  и 2j+1 = 2, то есть число состояний удваивается, тогда для идеального фермионного газа распределение по энергиям выглядит так:

 

 

Такой множитель запоминать это безумие, важно, что функция распределения (что вы должны помнить, придя на экзамен)

 

 

На что похожа эта функция?

Интеграл  должен равняться полному числу частиц N. Для фермионного газа , если этот интеграл взять, можно определить .