Лекция №2

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ,

Взаимное положение точки и прямой.

Т очка может принадлежать прямой и может не принадлежать прямой. Пусть точка A принадлежит прямой e (A  e). При проецировании прямой и точки на плоскость П₁ получим, что горизонтальная проекция точки принадлежит горизонтальной проекции прямой A₁  e₁. Аналогично и при проецировании на П₂ – A₂  e₂. Таким образом, если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой. Справедливо и обратное утверждение: если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, то точка принадлежит прямой. На рис. 3.1 точка A принадлежит прямой e, а остальные точки не принадлежат прямой e.

Для определения принадлежности точки профильной прямой, необходимы профильные проекции точки и прямой.

При проецировании отрезка AB на П₁ получим отрезок A₁B₁, при проецировании на П₂ – A₂B₂. На рис. 3.2 показан комплексный чертеж отрезка AB.

2. Взаимное положение прямых линий.

В пространстве две прямые могут совпадать, пересекаться, быть параллельными, скрещиваться.

У совпавших прямых все точки совпадают, поэтому эти прямые будут иметь совпавшие одноименные проекции. По сути, это одна прямая, обозначенная по-разному.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Пусть прямые общего положения a и b

У совпавших прямых все точки совпадают, поэтому эти прямые будут иметь совпавшие одноименные проекции. По сути, это одна прямая, обозначенная по-разному.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Пусть прямые общего положения a и b

пересекаются в точке K (a  b = K). Пересекающиеся прямые в общем случае проецируются в пересекающиеся прямые. Точка K – реально существующая точка, и ее проекции находятся на линии проекционной связи (K₁K₂), перпендикулярной оси x (рис. 3.2).

П араллельные прямые расположены в одной плоскости и не имеют общих точек.

Рис.2.2

Рис.2.3

Рис.2.4

Параллельные прямые в общем случае проецируются в параллельные прямые (пятое свойство ортогонального проецирования). На рис. 3.3 показан комплексный чертеж параллельных прямых e и m. При проецировании этих прямых на П₁ получим e₁ // m₁, при проецировании на П₂ – e₂ // m₂.

Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Эти прямые не параллельны и не пересекаются. Пример комплексного чертежа скрещивающихся прямых n и b показан на рис. 3.4 (n / b). Горизонтальные и фронтальные проекции этих прямых пересекаются. Но точки их пересечения не лежат на одной линии проекционной связи. В точке пересечения горизонтальных проекций совпали проекции двух точек 1  n и 2  b. Это горизонтально конкурирующие точки. Координаты x и y этих точек равны, а координата z точки 1 больше, чем z точки 2. В точке пересечения фронтальных проекций этих прямых совпали проекции двух точек 3  n и 4  b. Это фронтально конкурирующие точки. Координаты x и z этих точек равны, а координата y точки 4 больше, чем y точки 3. Скрещивающиеся прямые могут проецироваться на одну плоскость проекций в параллельные прямые, а на другую плоскость проекций – пересекающиеся прямые.