
- •Фінансова математика
- •Приклад 1.
- •1. Нарощення за простими відсотковими ставками. Практика нарахування простих відсотків.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •Розв’язок.
- •Приклад 5.
- •Розв’язок.
- •Приклад 6.
- •Розв’язок.
- •2. Дисконтування за простими ставками.
- •Приклад 7.
- •Розв’язок.
- •3. Визначення інших параметрів фінансових угод з простими ставками.
- •Приклад 14.
- •Розв’язок.
- •Приклад 15.
- •Розв’язок.
- •Приклад 19.
- •Розв’язок.
- •Приклад 31.
- •Розв’язок.
- •Приклад 34.
- •Розв’язок.
- •8. Потоки платежів і фінансові ренти.
- •Приклад 38.
- •Розв’язок.
- •9. Знаходження параметрів фінансових рент.
- •Приклад 39.
- •Приклад 40.
- •Розв’язок.
- •Приклад 41.
- •Розв’язок.
- •Приклад 42.
- •10. Внутрішня норма доходності
- •11. Планування погашення заборгованності.
- •Приклад 45.
- •Розв’язок.
- •Приклад 46.
- •Розв’язок.
- •Задачі для самостійного розв’язку
- •Література
Приклад 38.
Акція приносить сталий прибуток 0,43 грн. щорічно. Яка її теперішня вартість, якщо діюча на ринку ставка по кредитах - 30% річних складних?
Розв’язок.
З (66) при R=0,43, і=0,3 знаходимо
грн.
9. Знаходження параметрів фінансових рент.
Часто виникає задача, знаючи А або S знайти один з параметрів ренти при відомих інших.
Якщо відомі А або S, термін ренти n та ставка і, то з (58), (62) знаходимо член ренти R:
(68)
Аналогічно використовуємо формули (65).
Якщо S, A, R, і відомі, то термін ренти n знаходимо з (58), (62) як вирази:
(69)
причому друга формула (69) має сенс при умові
Аі<R. (70)
Аналогічно вирази для n можна знайти з (65).
Приклад 39.
Підприємство вирішило створити фонд 1,5 млн. грн. за 3 роки. Якщо суму 986,2 тис. грн. розмістити під 15% у банку, то на кінець 3-го року мали б:
млн.
грн.
Але одночасне забирання такої суми із господарчого обороту недоцільне. Тому віддається перевага щорічним рентним платежам. Маємо за (68) при і=15%, n=3 :
тис.
грн.
Отже щорічний внесок 431,9 тис. грн. сформує фонд 1,5 млн. грн. на кінець 3-го року.
Приклад 40.
Сума інвестицій 100 тис. грн., віддача 25 тис. грн. щорічно. На борг нараховуються 20% річних. За який термін окупляться інвестиції?
Розв’язок.
Якщо теперішня величина надходжень більше інвестицій, то маємо їх окупність. Отже з (69) знаходимо:
р.
Інвестиції окупляться майже за 9 років. Якби взяли R=20 тис. грн., то інвестиції не окупилися би.
При визначенні доходності операцій з періодичними сплатами виникає задача знаходження ставки і ренти.
Щоб знайти ставку і треба розв’язати рівняння
або
(71)
відносно і при відомих S, R, n, A.
Нелінійні рівняння (71) розв’язуються інтераційними методами Ньютона.
На практиці дуже зручно для розв’язку (71) користуватись програмами роботи з електронними таблицями, наприклад EXCEL 5.0. Для знаходження і використовується вбудована функція BHDOX (IRR) (див. EXCEL 5.0 для Windows, т. 2, c. 430-431).
Приклад 41.
За 7 років треба створити фонд 100 тис. грн. Для цього щорічно виділяють 10 тис. грн. Якою потрібна бути ставка, щоб фонд утворився?
Розв’язок.
Для і маємо рівняння
Звідси знаходимо і=11,709%.
Для знаходження наближеного розв’язку рівнянь (71) методом Ньютона, подамо ці рівняння у вигляді
(72)
Кожне з рівнянь (72) має вигляд
,
(73)
де
- функція, що задається лівою частиною
(72).
Нехай
якесь наближення до розв’язку (73). Тоді
його уточнення
за методом Ньютона має вигляд:
(74)
де
- похідна функції
.
Для рівнянь (72) формули (74) виглядають так:
(75)
(76)
Наближення знаходять звичайно з практичних міркувань.
Приклад 42.
За
даними прикладу 41 знайдемо наближене
значення і взявши
За формулою (75) маємо:
Підставивши
і
у
праву частину (75) отримаємо друге
наближення і
.
Таким чином можна отримати розв’язок
рівнянь (72) з будь-якою точністю.
10. Внутрішня норма доходності
Інвестиційний процес об’єднує два процеси: інвестиції (утворення виробничого об’екту, купівля цінних паперів,...) і послідовне отримання доходу.
Будь-який метод оцінки інвестиційних проектів зв’язаний з зведенням грошових величин до одного моменту часу.
Використовують такі характеристики інвестиційного процесу: чистий зведений доход, внутрішня норма доходності, термін окупності, рентабельність.
Зупинимось докладніше на ВНД - внутрішній нормі доходності, або внутрішній швидкості обороту (internal rate of return - IRR)
Представимо графічно інвестиційний процес:
Інвестиції
обсягів
у моменти
відкладаємо вниз і вважаємо від’ємним
доходом. Доходи
у моменти
відкладаємо вгору.
Дисконтуємо усі доходи і інвестиції на початок відліку.
ВНД (IRR) - це відсоткова ставка, при якій зведена величина інвестицій дорівнюватиме зведеній величині доходів.
Тобто при нарахуванні на інвестиціі К відсотків за ставкою і=IRR отримуємо розподілений у часі доход.
Чим вище IRR . тим більша ефективність інвестицій.
Виходячи з графічного представлення інвестиційного процесу складемо рівняння для ВНД=і:
(77)
Рівняння (77) - нелінійне рівняння відносно і.
Розв’язується чисельними методами типу Ньютона з будь-якою точністю.
Для
знаходження IRR використовується функція
ВНДОХ (значення, прогноз), де у значення
вводимо
,
а прогноз - наближенна оцінка IRR (див.
EXCEL 5.0 для WINDOWS, т.2, с.430-431).
Якщо в найпростішому випадку інвестиції К - разові на початку і щорічний доход сталий Е, то можна використати формулу ренти. ВНД=і є розв’язком рівняння
де
n - термін проекту.
З нерівності (70) випливає, що умова окупності інвестицій К має вигляд
Кі<E, (78)
тобто щорічні доходи повинні бути більше ніж відсоток від інвестицій.
Приклад 43.
Інвестиції на початку - 60 т. грн., доходи на протязі п’яти років 12 т. грн., 14т. грн., 17 т. грн., 19 т. грн., 21 т. грн. ( в кінці року). Знайти ВНД інвестиційного проекту.
Розв’язок.
Рівняння для і=ВНД (IRR) має вигляд:
У чарунки електронної таблиці EXCEL 5.0 послідовно вводимо: А1=-60; A2=12; A3=14; A4=17; A5=19; A6=21. Використовуємо команду ВНДОХ (А1:A6). Отримуємо результат і=11%.
Якщо інвестиції залучались за відсоток менший ніж 11%, то матимемо прибуток. Якщо відсоток залучення більший 11%, то інвестиції не окуповуються.
Приклад 44.
Пропонується продаж облігації за номіналом N=100 грн., з оголошеною доходністю 25% річних, терміном 3 роки. В кінці терміну облігація викуповується за номіналом. Продавець бере комісійні 1%. Якою буде доходність для покупця купівлі облігації?
Розв’язок.
Якщо продаж відбувається за номіналом без комісійних, то доходність дорівнюватиме оголошеній доходності 25%.
Якщо врахувати комісійні, то ставка доходності і є розв’язком рівняння:
(
* * * )
Дійсно. Зліва стоїть вартість покупки облігації з комісійними. Справа - зведена величина відсотків і викупної ціни.
Рівняння ( * * * ) набуває вигляду:
або
(
* * * * )
Розв’яжемо його наближеним методом (74). Оскільки ліва частина (* * * *) при і=0,25 менша за нуль, а при і=0,24 більша за нуль, то доходність лежить в межах 0,24<і<0,25. За (74) знаходимо для
та початкового наближення і0=0,24
Отже доходність зменшилась на 0,5% у порівнянні з оголошеною по облігації.