Приклад 14.

Визначити кількість років необхідних для збільшення капіталу у 8 разів для складної і простої ставки і=40%.

Розв’язок.

За формулою (25) маємо:

1) складна ставка і=40%:

2) проста ставка і=40%:

При дробовому n складні відсотки підраховуються або безпосередньо по формулі (23), або з застосуванням мішаного методу. Згідно цього методу за цілу кількість років нараховуються складні відсотки, а за дробову частину - прості.

(27)

де n=a+b; а - ціла частина, b - дробова частина n.

За формулою (27) множник нарощення більший ніж за (23).

Приклад 15.

Кредит у розмірі 10000 грн. виданий на 2 роки і 73 дня під 50%. Метод нарахування - мішаний. К=365 днів. Знайти суму боргу на кінець терміну угоди.

Розв’язок.

грн.

В фінансових угодах часто передбачається нарахування відсотків частіше ніж раз на рік.

В цьому випадку для підрахунку нарощеної суми можна використовувати формулу (23), де n - кількість періодів нарахування, і - відсоткова ставка віднесена до періоду.

Але звичайно вказують не піврічну, квартальну, місячну ставки, а річну, яка зветься номінальною.

Номінальна ставка j - це річна ставка відсотків, за якою відсотки нараховуються m разів на рік.

Нарощення за номінальною ставкою j здійснюється за формулою:

(28)

де n - тривалість угоди в роках. Зрозуміло, що

N=mn - це кількість періодів нарахувань.

Таким чином річний множник нарощення за номінальною ставкою j дорівнює:

(29)

При збільшенні m зростає темп нарахувань, тому що капіталізація відбувається частіше.

Розрахунки по формулі (28) можна проводити точним і мішаним методом згідно (27).

В зв’язку з використанням номінальної ставки, вводять поняття ефективної відсоткової ставки, що відповідає даній номінальній.

Ефективна ставка відсотків - це відносний доход отриманий за рік, тобто - це доходність операції у річній ставці відсотків.

Нехай j - номінальна, а - відповідна ефективна ставки. Тоді прирівнюючи множники нарощення маємо:

Звідси:

(30)

З (30) випливає, що .

Заміна в угоді номінальної ставки на ефективну не змінює відносин сторін, тому що ці ставки еквівалентні у фінансовому відношенні.

Приклад 16.

j=20%. Щоквартальне нарахування відсотків на протязі 5 років. Знайти множник нарощення.

Розв’язок.

Маємо m=4. Отже:

Приклад 17.

Банк нараховує відсотки за номінальною ставкою 30% річних. Знайти ефективну річну ставку за умов щомісячної і щоденної капіталізації.

Розв’язок.

За формулою (30) знаходимо:

1) щомісячна капіталізація (m=12):

2) щоденна капіталізація (m=365):

5. ДИСКОНТУВАННЯ І ОБЛІК ЗА СКЛАДНИМИ СТАВКАМИ

Математичне дисконтування за складною ставкою, тобто знаходження Р за S, відбувається за формулами, які випливають з (23):

(31)

Вираз

(32)

називається дисконтним множником складних відсотків. Він табулюється при цілих n для певних значень і, а в інших випадках обчислюється безпосередньо.

Приклад 18.

Визначити теперішню величину 5000 грн., які будуть сплачені через 2 роки при використанні ставки 40% складних річних.

Розв’язок.

грн.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік за номінальною ставкою j, то з (28) отримуємо

(33)

де n - кількість років. Отже в цьому разі дисконтний множник дорівнює:

(34)

З (31), (33) знаходимо дисконт суми S:

(35)

або

(36)

Cпіввідношення дисконтних множників при простій і складній ставці таке (при ):

0

, . (37)