5 Вероятность сложных событий. Противоположные события. Условная вероятность

5.1 Алгебра случайных событий

Пусть - произвольное не пустое множество. Всякий элемент этого множества ( ) условимся называть элементарным исходом, а само множество - множеством элементарных исходов.

Далее нас будут интересовать подмножества множества - возможно, не все, а лишь некоторые – А,В,С,…, которые мы назовём случайными событиями ( или просто: событиями) и объединим в один класс , потребовав, чтобы этот класс удовлетворял следующим аксиомам:

. В класс в качестве подмножества множества входит само множество : .

Случайное событие называется достоверным событием.

. Если события А и В входят в класс , то в него входят также их объединение и пересечение :

В связи с этим говорят, что класс замкнут относительно конечных сумм и произведений, входящих в него случайных событий.

. Если , то и : .

При этом случайное событие называется событием, противоположным событию А.

Всякий класс , составленный из подмножеств непустого множества и удовлетворяющий аксиомам , называется алгеброй множеств. Таким образом, приведённые три аксиомы и соглашение рассматривать подмножества множества как случайные события определяют алгебру случайных событий.

5.2 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах.

Пусть события А и В – несовместные, причём вероятности этих событий известны.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А):

Вероятность появления синего шара (событие В):

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

.

Пример 2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение: Обозначим: событие А – «из 2 деталей, 1 стандартная»; событие В – «из 2 деталей, 2 стандартных».

Составим схему для события А (см. рис. 2).

10 8станд 2нест. 1станд и 1нест. 2

Рис. 2

Составим схему для события В (см. рис. 3).

10 8станд 2нест. 2станд и 0нест. 2

Рис. 3

.