3.1 Случайные события

Испытание (опыт) – это осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых производится наблюдение.

Событие – это качественный результат испытания или испытаний, если они повторяются многократно. Принято события обозначать буквами латинского алфавита: A, B, C, …

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример: Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Т.е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Пример: Стрелок произвёл выстрел по цели. Обязательно произойдёт одно из двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример: Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости это равновозможные события.

3.2 Классическое определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведём определение, которое называется классическим.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 шара - красные, 3 – синие и 1 – белый. Необходимо дать количественную оценку возможности того, что взятый на удачу шар цветной. Очевидно, что возможность вынуть наудачу из урны цветной шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом. Это число и называют вероятностью события. Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Рассмотрим событие А – извлечение цветного шара. Каждый из возможных результатов испытаний назовем элементарным исходом. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А вычисляется по формуле: , где - число благоприятствующих исходов событию А; - число всех возможных элементарных исходов.

Свойства классического определения вероятности:

1. если событие А – достоверное, то ;

2. если событие А – невозможное, то ;

3. если событие А – случайное, то .

Пример 1. Человек хотел позвонить по телефону, но забыл одну цифру в номере и набрал её наудачу. Какова вероятность, что цифра набрана верно?

Решение: т.к. в десятичной системе счисления 10 цифр (0..9), а набрана одна цифра то:

m=1 – число благоприятных исходов;

n=10 – общее число исходов;

– вероятность возникновения необходимого нам события, в данном случае, это вероятность того, что набрана правильная цифра.

Пример 2. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наудачу шар будет красным, зеленым или белым.

Решение: Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда, в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Пример 3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых на удачу деталей, 4 стандартных.

Решение: Составим схему (см. рис. 1)

10 7станд 3нест. 4станд и 2нест. 6

Рис 1

Обозначим через А событие – из 6 деталей 4 стандартных.

Пример 4. На каждой из 6 одинаковых карточек напечатана одна из букв: а, т, м, р, с, о. Найдите вероятность того, что на 4, вынутых по одной и расположенных в ряд карточках можно прочесть слово «трос».

Решение: Событие А - получение слова «трос»