18.6 Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X, т.е. получить последовательность ее возможных значений (i=1, 2, ..., n), зная функцию распределения F(x).
Теорема.
Если
- случайное число, то возможное значение
разыгрываемой непрерывной случайной
величины X с заданной функцией распределения
F (х), соответствующее
,
является корнем уравнения
.
Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число , приравнять его функции распределения и решить относительно полученное уравнение .
Замечание 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.
Пример 1. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).
Решение:
Напишем функцию распределения величины
X, распределенной равномерно в интервале
(а, b):
.
По
условию, а=2, b=10,
следовательно,
.
Используя правило 1, напишем уравнение для отыскания возможных значений , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:
.
Отсюда
.
Выберем
3 случайных числа, например,
,
,
.
Подставим эти числа в уравнение,
разрешенное относительно
;
в итоге получим соответствующие возможные
значения X:
;
;
.
Пример
2. Непрерывная случайная величина X
распределена по показательному закону,
заданному функцией распределения
(параметр
известен)
(х >0). Требуется найти явную формулу
для разыгрывания возможных значений
X.
Решение:
Используя правило, напишем уравнение
.
Решим
это уравнение относительно
:
,
или
.
Отсюда
.
Случайное
число
заключено в интервале (0, 1); следовательно,
число
-
также случайное и принадлежит интервалу
(0,1). Другими словами, величины R и 1-R
распределены одинаково. Поэтому для
отыскания
можно воспользоваться более простой
формулой
.
Замечание
2. Известно,
что
.
В
частности,
.
Отсюда
следует, что если известна плотность
вероятности
,
то для разыгрывания X можно вместо
уравнений
решить относительно
уравнение
.
Правило
2. Для
того чтобы найти возможное значение
непрерывной случайной величины X, зная
ее плотность вероятности
,
надо выбрать случайное число
и решить относительно
уравнение
или уравнение
,
где а - наименьшее конечное возможное
значение X.
Пример
3. Задана плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
в интервале
;
вне этого интервала
.
Требуется найти явную формулу для
разыгрывания возможных значений X.
Решение:
Напишем в соответствии с правилом 2
уравнение
.
Выполнив
интегрирование и решив полученное
квадратное уравнение относительно
,
окончательно получим
.
18.7 Приближённое разыгрывание нормальной случайной величины
Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(R)=1/2, D(R)=1/12.
Составим
сумму n
независимых, распределенных равномерно
в интервале (0, 1) случайных величин
:
.
Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.
Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма содержит n слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу М(R)=1/2 равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы
.
Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу D(R)=1/12 равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы
.
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы
.
Пронормируем
рассматриваемую сумму, для чего вычтем
математическое ожидание и разделим
результат на среднее квадратическое
отклонение:
.
В
силу центральной предельной теоремы
при
распределение этой нормированной
случайной величины стремится к нормальному
с параметрами а=0 и
.
При конечном n
распределение приближенно нормальное.
В частности, при n=12
получим достаточно хорошее и удобное
для расчета приближение
Правило. Для того чтобы разыграть возможное значение нормальной случайной величины X с параметрами а=0 и , надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:
.
Пример. а) Разыграть 100 возможных значений нормальной величины X с параметрами а=0 и ; б) оценить параметры разыгранной величины.
Решение: а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы, сложим их и из полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем
.
Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы первые 12 чисел, найдем остальные возможные значения X.
б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:
,
.
Оценки
удовлетворительные:
близко к нулю,
мало отличается от единицы.
Список использованных источников
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высшая школа, 2001.
2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.
4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003.
5. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994.
6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.