18.4 Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью р и, следовательно, не появляется с вероятностью q=1-p.

Введем в рассмотрение дискретную случайную величину X с двумя возможными значениями (для определенности примем , ) и соответствующими им вероятностями , . Условимся считать, что если в испытании величина X приняла возможное значение , то событие А наступило; если , то событие А не наступило, т. е. появилось противоположное событие .

Таким образом, разыгрывание противоположных событий А и сведено к разыгрыванию дискретной случайной величины X с заданным законом распределения:

Х	1	0
p	p	q

Для разыгрывания X надо (по правилу см. предыдущий пункт) интервал (0,1) разбить точкой р на два частичных интервала: и . Затем выбирают случайное число . Если попадает в интервал то X= (наступило событие А); если попадает в интервал , то X= (событие А не наступило).

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна р и, следовательно, вероятность наступления противоположного события А равна 1-р, надо выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число ; если , то событие А наступило; если , то появилось противоположное событие .

Пример. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р=0,35.

Решение: Выберем из таблицы приложения 5 шесть случайных чисел, например: 0,10; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12; 0,06. Считая, что при событие А появилось, а при наступило противоположное событие , получим искомую последовательность событий: А, , А, , А, А.

18.5 Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы n (n>2) несовместных событий , вероятности которых известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины X со следующим законом распределения (для определенности примем , , …, ):

Х	1	2	…	n
p	p1	p2	…	pn

Действительно, достаточно считать, что если в испытании величина X приняла значение ( ), то наступило событие Справедливость этого утверждения следует из того, что число n возможных значений X равно числу событий полной группы и вероятности возможных значений и соответствующих им событий одинаковы: . Таким образом, появление в испытании события А равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина X приняла возможное значение .

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых , известны, достаточно разыграть дискретную случайную величину X со следующим законом распределения:

Х	1	2	…	n
p	p1	p2	…	pn

Если в испытании величина X приняла возможное значение , то наступило событие .

Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: , , , . Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.

Решение: В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину X, закон распределения которой

X 1 2 3 4

р 0,19 0,21 0,34 0,26

По правилу разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала: , , , . Выберем из таблицы приложения 5 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число принадлежит интервалу , то Х=3, следовательно, наступило событие . Аналогично найдем остальные события.

Итак, искомая последовательность событий такова:

, , , , .

Пример 2. События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.

Решение: Возможны 4 исхода испытания:

, причем в силу независимости событий ;

, причем ;

, причем ;

, причем .

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: с вероятностью , с вероятностью , с вероятностью и с вероятностью .

В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего параграфа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X, закон распределения которой

Х	1	2	3	4
p	0,12	0,48	0,08	0,32

Используем правило. Выберем 6 случайных чисел, например: 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,70. Построим частичные интервалы: , , , . Случайное число принадлежит интервалу , поэтому наступило событие . Аналогично найдем исходы остальных испытаний.

Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испытаний такова: , , , , , .

Пример 3. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(А)=0,8, Р(В)=0,6, Р(АВ)=0,5.

Решение: Возможны 4 исхода испытания:

, причем, по условию, ;

, причем ;

, причем ;

, причем

.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: с вероятностью , с вероятностью , с вероятностью и с вероятностью .

Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа: 0,65; 0,06; 0,59; 0,33.

Для контроля приводим ответ: , , , .

Пояснение. Так как , то .

Отсюда .

Аналогично получим, что .